- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Классическое и геометрическое определения вероятности
- •1.1.Классическое определение вероятностей. Задачи
- •1.2.Геометрическая вероятность
- •1.3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 2. Условная вероятность. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.1. Операции над событиями. Независимость событий
- •2.2. Условная вероятность
- •2.3. Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •2.3. Задачи для самостоятельной работы
- •Глава 3. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Глава 4. Схема независимых испытаний Бернулли. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •Глава 5. Дискретные случайные величины и их характеристики
- •5.1. Дискретные случайные величины
- •5.2. Задачи для самостоятельной работы.
- •Глава 6. Непрерывные случайные величины и их характеристики
- •6.1. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •Глава 7. Элементы математической статистики
- •7.2. Доверительное оценивание
- •1. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при известной дисперсии)
- •2. Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения (при неизвестной дисперсии)
- •3. Доверительный интервал для неизвестного среднего квадратического отклонения нормального распределения
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Список литературы
6.1. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
Случайная величина задана функцией распределения
Найти вероятность того, что примет значение в интервале:
а) б) . Найти плотность вероятности . Вычислить характеристики случайной величины.
Случайная величина задана функцией распределения
Найти плотность вероятности . Вычислить характеристики случайной величины.
Дана функция распределения вероятностей случайной величины , содержащей один или два неизвестных параметра и :
а) ;
б) ;.
Найти: 1) a и b; 2) плотность распределения вероятностей; 3) вероятность того, что при 3-х независимых наблюдениях случайная величина примет значения в промежутке ровно один раз; не менее одного раза; 4) определите числовые характеристики.
Случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей:
Найти функцию распределения . Вычислить характеристики случайной величины
Для непрерывной случайной величины с функцией плотности f(x) :
определить значение параметра λ, построить функцию распределения, вычислить,,
а)
б)
Задачи для самостоятельной работы.
Случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей:
Найти функцию распределения . Вычислить характеристики случайной величины.
2. Случайная величина задана функцией плотности
Восстановите функцию распределения вероятностей случайной величины. Постройте графики функций и. Вычислите характеристики.
3. Дана функция распределения вероятностей случайной величины , содержащей один или два неизвестных параметра и :
а)
б)
Найти: 1) a и b; 2) плотность распределения вероятностей; 3) вероятность того, что при 3-х независимых наблюдениях случайная величина примет значения в промежутке а) ровно один раз; б) не менее одного раза; 4) определите числовые характеристики.
4. Для непрерывной случайной величины с функцией плотности f(x) :
определить значение параметра λ, построить функцию распределения, вычислить,,
а)
б)
Глава 7. Элементы математической статистики
Выборочные характеристики вариационных рядов
Определение. Совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин называется выборкой, соответствующей распределению случайной величины .
Определение. Пусть ‑ выборка из распределения с теоретической функцией распределения , ‑ число элементов выборки, строго меньших x. Эмпирической функцией распределения (ЭФР) называется функция
. (7.1)
Пусть ‑ выборка из распределения случайной величины , а – реализация этой выборки, т.е. наблюдавшиеся значения.
Определение. Выборочным средним называется величина
. (7.2)
Если данные представлены в виде точечного или интервального вариационного ряда, то для вычисления используют формулу:
, (7.3)
где – количество групп в точечном или интервалов в интервальном вариационных рядах,– частота, т.е. количество элементов выборки, принадлежащих-той группе или-тому интервалу,– варианта для точечного ряда и середина-того интервала для интервального ряда.
Определение. Выборочной дисперсией (смещенной) называется величина
. (7.4)
Она характеризует квадрат отклонения в среднем каждой величины выборки от выборочного среднего. Величина называется среднеквадратическим отклонением величин выборки от выборочного среднего.
Определение. Выборочной дисперсией (несмещенной) называется величина
. (7.5)
Очевидно, что смещенная и несмещенная выборочные дисперсии связаны формулой
. (7.6)
Если данные представлены в виде точечного или интервального вариационного ряда, то для вычисления используют формулу:
, (7.7)
или
, (7.8)
где – количество групп в точечном или интервалов в интервальном вариационных рядах,– частота, т.е. количество элементов выборки, принадлежащих-той группе или-тому интервалу,– варианта для точечного ряда и середина-того интервала для интервального ряда.