§4. Расстояние от точки до прямой

Получим формулу, выражающую расстояние от заданной точки до заданной прямой.

Рис. 40.

Пусть на плоскости имеется прямая, заданная уравнением

и точка , не лежащая на этой прямой. Возьмем на прямой произвольную точку(Рис. 40). Тогда расстояниеот точкидо прямой, как видно из рисунка, равно

,

где- нормаль к прямой. Используя полученную

выше формулу для проекции вектора на вектор

,

получаем

.

Так как

,

то

Поскольку точка лежит на прямой, то

есть верное числовое равенство. Отсюда

.

Тогда, с учетом этого, для расстояния получаем формулу

§5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Как установлено выше, уравнение любой прямой на плоскости можно записать в виде

.

Ниже, в этом параграфе будем рассматривать только такие прямые, в уравнении которых . Множество этих прямых включает все прямые на плоскости за исключением прямых, параллельных осии прямой, совпадающей с осью. В самом деле, если, то вектор нормали к прямойколлинеарен орту осивекторуи значит прямая перпендикулярна оси.

Если , то обе части уравнения

можно разделить на . Тогда получаем

,

или

.

Обозначим

.

Уравнение прямой принимает вид

.

Итак, уравнение любой не вертикальной прямой можно записать в виде

,

где и-фиксированные числа. Параметрназывается угловым коэффициентом прямой. Уравнение прямой, записанное в таком виде, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Уравнение прямой имеет вид

.

Записать уравнение этой прямой в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

Разделив обе части уравнения на , получим после элементарных преобразований

.

Ниже вводится понятие угла наклона прямой.

Определение.

Пусть прямая на плоскости не параллельна оси и пересекает осьв точке(Рис. 41). Углом наклона прямой называется угол, на который надо повернуть осьвокруг точкипротив часовой стрелки до совмещения с

Рис. 41.

прямой. Если прямая параллельна оси , то по определению полагаем, что угол наклона прямой равен нулю. Угол наклона прямойзаключен в пределах

.

Пусть прямая задана уравнением с угловым коэффициентом. Сформулируем в виде теоремы утверждение о связи углового коэффициента с углом наклона прямой.

Теорема.

Пусть прямая задана уравнением

.

Пусть - угол наклона прямой. Тогда справедливо равенство

.

Рис. 42.

Доказательство.

Заметим, что так как прямая не вертикальная, то и значитопределен. Рассмотрим сначала случай (Рис. 42), когда угол наклона острый, т.е.

.

Возьмем на прямой две точки икак это показано на рисунке 42. Тогда в прямоугольном треугольникедлины катетов равны следующим значениям

.

Следовательно

.

Так как точки илежат на прямой, то

.

Отсюда

.

Рассмотрим теперь случай (Рис. 43), когда

.

Рис. 43.

Снова возьмем на прямой две точки икак показано на рисунке 43. Из рисунка следует, что. Далее, из рисунка видно, что

Тогда

Так как , то

Таким образом, и в этом случае

Заметим, что в случае, когда

,

тангенс угла наклона прямой отрицателен и значит . Наконец, если угол наклона равен нулю, то есть прямая параллельна оси, то

С другой стороны, уравнение прямой в этом случае имеет вид

В самом деле, если уравнение

записать в виде

,

то видно, что вектор нормали к этой прямой равен . Но если прямая параллельна оси, то векторколлинеарен вектору. Следовательно

.

Отсюда следует, что и уравнение прямой имеет вид

.

Следовательно, и в этом случае и, то есть.

Пример.

Уравнение прямой имеет вид

.

Найти угол наклона прямой.

Решение.

Обозначим угол наклона через . Тогда. Следовательно

.

Запишем в виде теоремы условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

Теорема

Пусть прямые изаданы уравнениями с угловым коэффициентом:

Эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда (при условии, что; если, то прямые совпадают). Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда.

Доказательство.

Уравнения прямых можно записать в виде

Вначале докажем условие параллельности. Если прямые параллельны, то векторы нормалей иколлинеарны, то есть существует такое число, что

.

Отсюда следует равенство координат

.

Следовательно и.

Обратно, если , то векторы нормалей равны и значит прямые параллельны (при условии, что.

Теперь рассмотрим условие перпендикулярности. Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы нормалей, то есть

.

Или, в координатах,

Что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что прямые

перпендикулярны.

Решение.

Следовательно, прямые перпендикулярны.

Получим выражение для угла между прямыми в случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Утверждение сформулируем в виде теоремы.

Теорема.

Пусть прямые изаданы уравнениями с угловым коэффициентом:

Тогда тангенс острого угла межу прямыми выражается по формуле

.

Доказательство.

Уравнения прямых запишем в виде

Здесь и- векторы нормалей между прямыми. Как было показано выше, косинус острого угла между прямыми можно найти по формуле

.

С учетом соотношения

получаем

Тогда, с учетом того, что тангенс острого угла есть число положительное, получаем

.

(т.е. инеарна вектору одит через точку виде теоремы. рассматриваемых ниже.х 000000000000000000000000000000000000000000000000000