Глава 5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Из элементарной геометрии известно, что возможны следующие варианты взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

а) прямая лежит в плоскости;

б) прямая параллельна плоскости;

в) прямая пересекает плоскость в одной точке.

Выясним как по уравнениям прямой и плоскости определить их взаимное расположение.

Пусть плоскость задана уравнением

,

а прямая задана каноническим уравнением

.

Тогда нормаль к плоскости равна . Прямая проходит через точкуи имеет направляющий вектор.

Если прямая лежит в плоскости, то направляющий вектор прямой перпендикулярен нормали к плоскости. Кроме того, точка должна принадлежать плоскости и, следовательно, тройка чиселявляется решением уравнения плоскости.

Таким образом, если (условие перпендикулярности векторов) и тройка чиселявляется решением уравнения плоскости, то прямая лежит в плоскости. Если же, но тройка чиселне является решением уравнения плоскости, то прямая параллельна плоскости.

Если вектор не перпендикулярен вектору, то прямая пересекает плоскость в одной точке. Рассмотрим на конкретном примере задачу о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Найти точку пересечения прямой

и плоскости

.

Решение.

Задачу удобно решать, если уравнение прямой записать в параметрическом виде

.

Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно и прямой и плоскости, то ее координаты должны удовлетворять одновременно и уравнению плоскости и уравнениям прямой, то есть ее координаты должны удовлетворять системе уравнений

Решая систему, находим . Следовательно, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты.

Если прямая пересекает плоскость в одной точке и не перпендикулярна плоскости, то углом между прямой и плоскостью называется острый угол (смотри Рис.18) между прямой и проекцией прямой на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, то полагают, что. Если же прямая параллельна плоскости или лежит в плоскости, то полагают, что. Выясним, как зная уравнения прямой и плоскости, определить угол между прямой и плоскостью.

Пусть плоскость задана уравнением

Рис. 37.

,

а прямая задана каноническими уравнениями

.

Тогда вектор нормали к плоскости равен , а направляющий вектор прямой равен. Косинус острого угламежду нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой (Рис. 18) можно найти используя скалярное произведение по формуле

.

Отсюда

.

Тогда острый угол между прямой и плоскостью равен (смотри Рис. 18)

.

Рассмотрим пример.

Пример.

Найти угол между прямой

и плоскостью

.

Решение.

Направляющий вектор прямой и нормаль к плоскости равны

Тогда

.

Отсюда

.

Тогда острый угол между прямой и плоскостью равен

.

137