21. Принцип максимума модуля.

Лемма: Знач-ие голоморф. в обл. G ф-ии f в любой т. z равно среднему арифм. ее значений на любой окр-ти Г с центром z, принадл. вместе с внутренностью обл. G.

Теорема 1: Если ф. f голоморф. в обл. G с С_z и модуль |f| достигает локал. максимума в нек. т. z_0,то ф. f=const в G.

Док-во: Положим |f(z₀)|=M, очевидно, 0≤M<. Выберем числотак, чтобы кругU(z₀,) вместе с границей лежал вG и чтобы |f(z)|≤M в замыкании z. В случ. M=0 имеем f=0,и, согласно принципу единств-и, f=0 в G. Пусть M>0. Рассужд. от прот-го, покаж., что |f|=M в . Предпол., что вимеется некот. т., где 0<r<, 0≤t₀≤ 2, в кот. |f(z^*)|<M, тогда в виду непрер-ти )|т., что наT₁=[t₀-,t₀+] выполн. нер-во. Кроме того, ф , 0≤≤M на дополн. T₂= [t₀+,t₀-+2]. Используя теор. о среднем для голоморф. ф-ции, имеемf(z₀)=. ОткудаПолученное противоречие доказ., что |f|=M в U(z₀,

Следствие1: Максимум |f|, голоморф. в обл. и непрер. в ее замыкании, может достигаться только на границе этой обл., при усл-иии, что f(z)≠const.

Следствие 2(Вейерштрасса): Пусть дан ряд f₁(z)+…+f_n(z)+… (1) все члены кот.- ф-ции, голоморф. в обл. G и непрер. в G, тогда если ряд (1) сход. равном. на границе обл. G , то он сход-ся также равномер. на замкн. обл..

22.Нули голоморф.ф-и. Порядок нуля. Изолированность нулей голоморф.ф-и.

Опр.Если ф-яголоморфн. в обл-ти, то кажд. т., в кот., наз. нулем ф-ии.

Утв.замкнут.огранич. подмн-во обл-тиG, в кот. ф-яfголоморф. и, может содерж. лишь конечное число нулей ф-иf.

Док-во.Д-но, предположение по-ти мн-ва нулей приводит к-ию вGхотя бы 1-й предел. т. мн-ва ф-иfи, сл-но, к рав-вуf=0.

Утв.Мн-во нулей голоморф.вGф-ии(fкак эл-т, вектор),конечно или счетно.

Док-во.Обл-тьGможно представ. в виде объединения замкн. мн-в,, где– расст. отzдо. Т.к. в кажд.мн-во нулей ф.fконечно, то вGоно конечно или счетно.

Опр.Пустьfголоморф.вобл-тиG,,–т. обл-тиG,. Числоmназ. порядком (кратностью) нуляф-ииf, если ее разложение в ряд Тейл. в окр. т.имеет вид:(,. Очев, что т.явл. нулем пор-каmголоморф.ф.fтиттк,.

Пример.Т.явл. для ф-ииsinz-zнулем пор-ка 3, а т.для ф-ииsinzнулем пор-ка 1.Опр.Приm=1 нуль ф.fназ. простым.

Утв.Голоморф.ф., имеющая нули, либо тожд. нулю, либо ее нули – изолир. т. (без док-ва).

23. Представление рядом Лорана ф-и, голоморф.в кольце. Интегральные ф-лы Коши для коэфф-в ряда Лорана.

Теор. 1.Пусть ф-яfголоморф.в кольце,,, тогда вKф.fпредставима в виде суммыf=S+T, гдеS(z) – сумма степ. ряда, сходящ. в круге, а–сумма ф-ии ряда, сходящ. вне замыкания круга. Коэф. этих рядов выраж. ф-лой:(1), где.

Док-во.Зафикс. т.и возьмем числатак, что выполн.. Пустьсоотв-но внутр. и внешн. граничн. окр-ти кольца. Пусть– окр-ть с центр. в т.z, леж. внутри. Т.к.явл. голоморф. ф. отв обл-ти К, исключая т., то по интегр. т. Коши для остального контура имеем, откуда, где,. Разложим подынтегр. ф. в 1-м из интегралов по полож, а во 2-м – по отриц. степеням разности:;. Получ. ряды сход.равном. соотв-но на,, т.к.при,ипри,, поэтому после почленного интегрир. рядов получ. разлож.,с коэф-ами:,. Ряд с суммойS(z) сход.в круге, а ряд с сум.T(z) сход-ся вне замык. круга. Т.к. ф-яприголоморф.при, то в силу интегр. т. Коши о составном конт., интегрирование поив ф-лахиможно заменитьинтегрир-ем поокр-тис центр. в т., лежащей в кольце К. 1-й ряд в теор. 1S(z) –обыкн. степ. ряд и изображ. ф-юf, голоморф. в круге. 2-й рядT(z) можно рассм. как обыкн. степ.ряд, если,. В новых обозначениях ряд примет вид(3). Ряд (3) сход.прии изображ. ф. перем.tи голоморф. при. Возвращаясь к перем.z, видим, что рядT(z) изобр.T(z), голом. вне замкн. круга. Преставл. голоморф.ф.с коэф.

1. можно запис. короче .

24.Ряд Лорана, его правильная и главная части. Единственность ряда Лорана.

[ P.S.Теор. 1.Пусть ф-яfголоморф.в кольце,,, тогда вKф.fпредставима в виде суммыf=S+T, гдеS(z) – сумма степ. ряда, сходящ. в круге, а–сумма ф-ии ряда, сходящ. вне замыкания круга. Коэф. этих рядов выраж. ф-лой:(1), где. ]

Опр.Разлож.(откуда получилось – см. билет 22) по целым степенямназ. рядом Лорана ф.fв кольце К. СуммаS(z) с неотриц. степеняминаз. егоправильной частью, а суммаT(z) с отриц. степенями –главной частью.

Теор.В данном круговом кольцеголоморф.ф.f(z) единств. образом разлагается в ряд Лорана.

Док-во.Пусть(5) на окр-ти, где. Ряд (5) сход.равном. Умножив (5) на, получ.. Здсеь ряд также сход.равномерно на, поэтому, интегрир. его почленно на, получ:, что совпад. с (1).

25.Прав.иизолиров. особые т. голоморф. ф-и. Критерий прав.т. Классификация особых изолир. т-к. Ряд Лорана в окрестности особ.т.

Пусть ф-я f(z) явл. голоморф.внекот. окр-ти.

Опр. 1.Еслитакое, что, положив, получ. ф-юf(z), голоморф.во всем круге, то т.наз.правильной т.ф.f(z). Если такого числа не, то т.наз.изолир. особ.т.для ф.f(z).

Теор.Для того, чтобы ф.f(z), голоморф.вбыла правильн. в т., необх. и достат., чтобыокр-тьUт., в кот.f(z) огранич. по модулю.

Док-во.Необх. очевидна. Достат. – много.

Следствие. Чтобы т.была изолир. особ. т.f(z) необх. и достат., чтобы вееокр-ти|f(z)| был неогранич., т.е. чтобы выполн..

Опр. 2.Изолир. особ.т., для кот. выполн., наз.полюсом голоморф. ф. f.Изолир. особ.т., для кот.(ни конечн., ни бескон)наз. существ. особ. т. ф.

Теор. 2.Чтобы т.была полюсом ф.f(z) необх. и достат., чтобы эта т. была нулем ф..

Док-во.Большое.

Опр. 3.Т.наз. полюсом порядка (кратности)m, если т.явл. нулем порядкаmдля ф.. Приm=1 полюс наз. простым, а приm>1 – кратным.

Теор. 3.Чтобы т.была полюсом кратн.mдля ф.f, необх. и достат., чтобы лорановск. разлож. ф.f(см. 22-23) имело вид:) (3).

Док-во.Большое.

След.Изолир. особ.т.голоморф. ф.f(z) явл. для нее существенно особ. т. титткларановск. разлож. ф.fв окр. т.содержитмн-во членов с отриц. степенями.

26.Теорема Сохоцкого.

Теор. 1.Если–сущ. особ. т. голоморф. ф.f, то длясущ. сход. кпослед-ть, такая, чтопри.

Док-во.Большое. [Случай бескон. удал. т.Пустьf(z) голоморф. в, тогда ф.будет голоморф.в обл.,.

Опр. 1. наз. прав. т., полюсом порядкаmили сущ. особ. т. ф.f(z), голоморф. в К, (см. 25) в зав-ти от того, будет ли т.соотв-но прав. т., полюсом порядкаmили сущ. особ. т. для ф-ии. В указ. случ. ф.иммет в окр-ти т.имеет лоран. разлож. (см. 23) вида:, второе ур-ие не видно.(в посл. случ. беск. мн-во коэф.при отриц. степеняхотлична от 0).

Опр. 2.Разлож., голоморф. в кольце, ф.fв ряд Лорана наз. рядом Лорана в бесконечности. Главная часть (см. 24) ряда Лорана в беск-ти наз. совокупность членов с полож. степенями, а прав.частью – все ост. члены.]