10. Интеграл от функции комплексного переменного вдоль кривой. Вычисление интеграла. Интеграл вдоль окружности от функции Zk, k ϵ z. Свойства интеграла

Опр: число , () наз диаметром разбиения Т кривой Г.

Опр: пусть ,. Сумма(1) наз-ся инт суммой кривой для фун-цииfна Г, соотв разбиению Т, выбору точек.

Опр: ф-ция fназ-ся интегрируемой по кривой Г, еслиоблад след св-вом:, такое что пр любом разбиении Т крив Г с диаметроми при каждом выборе точеквып нер-во. ЧислоIназ инт от ф-цииfвдоль(или по) кривой Г и обознач, а Г наз-ся путем интегрирования.

Зам:

Теор: Если ф-ция fнепрер на спрямляемой крив Г, то ф-цияfинт на этой кривой.

Зам: пусть Г-гладкая кривая, (a<t<b), тогда ее ур-ние

Св-ва инт:

1

2

3 если спрямляемая кривая Г состоит из mкусков, а ф-циянепрер на Г, то ин-л, причем предп, что инт по каждому изпроисходит в направлении, порождаемом напр интегр по Г.

В случае не пересекает спярм крив(m≥2) не образуют кривой, ф-лубудем считать справедливой по опр.

4 , гдеL- длина кривой Г

11. Интегральная теорема Коши для жордановой области и для составного контура.

Теор:если ф-цияfголоморфна в односвязной областии Г-любая спрямляемая замкнутая кривая, лежащая в, торисс

Док-во:все док-во основано на леммах 1 и 2

Лемма 1:пустьf-непрерывна в односвяз областии для любого треугольника, содерж в Г, ин-л вдоль границы этого тр-ка, тогда любой замкнутой спрямляемой кривой Г, содерж вин-л

Док-во:основано на том, что любую фигуру(область), можно разбить на тр-ки

Лемма 2:ф-цияfголоморфна в односвязной областии-контур какого-либо, то

Док-во:любой тр-к можно разбить на последовательность тр-ков,, при достаточно большом к, М устремляется к 0.

Пусть Г- жорданова спрямляемая кривая - голоморфна внутри Г, а так же в каждой точке Г. Другими словами, пустьголоморфна в замкнутой областикривой Г, в этом случае имеем

Теор:Пусть граница Г областиGсостоит изn+1 замкнутых жордановых спрямляемых кривыхтаких, что каждая из прямыхлежит вне остальных и все они располагаются в. Пусть при этом если точка движется, то точки областиGостаются слева. Тогда если фголоморфна в, тоРИС

Док-во:соединимв циклическом порядке с помощью вспомогательных кривыхab,cd,ef.

Рассмотрим 2 замкнутые кривые ,

Функция является голоморфной как внутри, так и на каждой из этих кривых,

,

Складывая эти 2 рав-ва получим (интегрируя по вспомогательным кривымab,cd,efсоверш в 2 раза в противопол напр, поэтому уничтожаются)

Замеч:рав-воможно записать в виде, где интегрирование совершается в положительном направлении кривых

Пр:!?

12. Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является голоморфной на контуре интегрирования

Теор: Пусть Gограничена жордановой спрямляемой кривой Т и-ф-ции, голоморфной вGи непрерывной в, тогда

Док-во: проведем, при доп предп, что каждый луч выходит из точки , пересекая Г только в одной точке и что Г состоит из конечного числа гладких дуг.РИС

Пусть ,–ур-ние крив Г,- по предположению имеет кусочно-непрер произв, пусть

Рассмотрим замкнутую кривую ,

По теор Коши: =, сл-но

Ф-ция f(z)-равномерно непрер в замкнутой области, поэтому, что при,имеем

Положим ,,,, тогда приимеем(, поэтому при указанном