Пояснения к работе

Когда дело касается исследования или разработки какой-либо электрической схемы, то первое о чем нужно помнить - это вид и значение токов и напряжений в этой схеме. Так как эти два понятия составляют основу электротехники, то необходимо знать их определения.

Отношение потенциальной энергии заряженной частицы, помещенной в данную точку электрического поля (схемы), к величине ее заряда называется электрическим потенциалом поля (схемы) в этой точке:

; .

Напряжение между двумя точками схемы – это работа, которую нужно затратить для перемещения положительного электрического заряда из точки с низким потенциалом в точку с высоким потенциалом. Иначе говоря, это энергия, которая высвобождается, когда единичный положительный заряд перемещается от точки с высоким потенциалом к точке с низким потенциалом (т.е. потенциал первой точки «положительнее» второй). Количественное значение напряжения можно рассчитать по формуле:

, (1)

или

.

где - напряжение в вольтах,- работа (энергия) в джоулях,- заряд в кулонах. Формула 1 означает, что если к зажимам электрической цепи приложить напряжение (разность потенциалов) один вольт, то каждый единичный заряд получит энергию один джоуль.

Вода течет с одного места на другое, если первое расположено выше второго, и скорость течения зависит от разности уровней воды в этих местах. При протекании электрического тока происходит нечто похожее, но говорят не о разности уровней, а о разности потенциалов (). Из всего сказанного можно сделать вывод о том, что между двумя заряженными телами нет разности потенциалов, если после их соединения проводником сила тока равна нулю.

Электрический ток – это упорядоченное движение носителей электрического заряда в веществе. За направление тока принято направление движения положительных зарядов (т.е. от плюса к минусу). Количественное значение силы тока можно оценить по формуле:

, (2)

где - заряд в кулонах,- время в секундах,- сила тока в амперах. Формула 2 означает, что при силе тока в один ампер через поперечное сечение проводника в каждой точке цепи проходит один кулон электричества за каждую секунду.

Если на концах проводника поддерживается разность потенциалов, то в нем протекает электрический ток. Зависимость между силой тока и напряжением устанавливает закон Ома:

, (3)

где - сопротивление в омах. Сопротивление – элемент цепи, в котором происходит необратимое преобразование электрической энергии в тепловую, а напряжение на его зажимах и ток через него подчиняются закону Ома. Формула 3 означает, что сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.

Обычно, электрические цепи состоят из множества сопротивлений и других элементов. При этом важно знать то, как соединены эти элементы между собой.

Соединение элементов называется последовательным, если в них протекает один и тот же ток. На рисунке 14а показано последовательное соединение n-сопротивлений. Это соединение элементов можно заменить одним эквивалентным сопротивлением, вычисленным по формуле:

.

Рисунок 14 Виды соединения резисторов

Соединение нескольких элементов называют параллельным, если напряжение на каждом из элементов имеет одно и то же значение. На рисунке 14б показано параллельное соединение сопротивлений, которое можно заменить одним эквивалентным, рассчитанным по формуле:

Так, например, для параллельного соединения двух резисторов имеем:

или .

В простейшем случае закон Ома определяет зависимость (3) между током и напряжением резистивного элемента электрической цепи. В общем случае закон Ома определяет зависимость между напряжением и током для неразветвленного участка цепи. Рассмотрим случай последовательного соединения источников и приемников (резисторы) электрической энергии (рисунок 15).

Рисунок 15 Схема неразветвленной электрической цепи

Для схемы, изображенной на рисунке 15, составим уравнение по второму закону Кирхгофа (см. ниже), произвольно задавшись направлением тока в цепи и направлением обхода контура (например, по ходу часовой стрелки):

.

Ток в цепи равен

.

При обходе контура видно, что ЭДС инаправлены одинаково, а ЭДС- им навстречу. Ток в цепи определяется действием всех трех ЭДС и не изменится, если произвести перестановку элементов цепи, сгруппировав ЭДС и сопротивления, как показано на рисунке 16. Участок цепи 4-5-6-1 представляет собой последовательное соединение резисторов. Следовательно, эти резисторы можно заменить одним сопротивлением, эквивалентное по своему действию всем трем сопротивлениям (рисунок 16б):

Участок 1-2-3-4 на рисунке 16а представляет собой последовательное соединение источников ЭДС. Напряжение между точками 4-1:

Последнее равенство позволяет на участке 1-2-3-4 три ЭДС заменить одной, эквивалентной:

и получить более простую схему (рисунок 16в), в которой .

Рисунок 16 Преобразование схемы неразветвленной электрической цепи

Этот вывод можно распространить на любое число последовательно включенных источников. Обобщив вышесказанное, приведем формулу закона Ома для неразветвленного участка цепи, содержащего произвольное число резистивных элементов и источников энергии:

,

где предполагается, что положительные направления тока и напряжения на участке цепи выбраны совпадающими;

– арифметическая сумма значений сопротивлений всех резистивных элементов в неразветвленном участке цепи;

– алгебраическая сумма ЭДС всех источников, причем если ЭДС совпадает с выбранным положительным направлением тока, то записывается со знаком плюс, если противоположна – со знаком минус.

Рассматривая схемы различных электрических цепей, можно выделить в них характерные участки. Участок, вдоль которого ток один и тот же, называется ветвью электрической цепи. Место соединения ветвей называется узлом электрической цепи. Узел образуется при соединении в точке не менее трех ветвей, например, на рисунке 17 к узлу 6 подключены четыре ветви. Ветви, не содержащие источников электрической энергии, называются пассивными. Ветви, в которые входят источники электрической энергии, называются активными. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром электрической цепи.

Рисунок 17 Схема разветвленной электрической цепи

На схемах стрелками отмечаются положительные направления ЭДС (электродвижущей силы), напряжений и токов. Направление ЭДС может быть указано обозначением полярности зажимов источника: внутри источника ЭДС направлена от отрицательного зажима к положительному. Положительное направление на участке цепи совпадает с направлением тока – от точки большего потенциала к точке меньшего потенциала. У приемника электрической энергии направлении тока и напряжения совпадают, а у источника они противоположны.

Для расчета электрических цепей наряду с законом Ома применяются два закона Кирхгофа. Методы расчета с применением законов Кирхгофа позволяют рассчитать электрическую цепь любой конфигурации и сложности, т.е. являются основными.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрических цепей и выражает баланс токов в них: в узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю:

.

В эту сумму токи входят с разными знаками, в зависимости от направления их по отношению к узлу. На основании первого закона Кирхгофа для каждого узла можно составить уравнение токов. Например, для точки 3 схемы, представленной на рисунке 17, такое уравнение имеет вид:

.

В этом уравнении токи, направленные к узлу, условно взяты положительными, а токи, направленные от узла, - отрицательными. Направления токов выбираются произвольным образом. Если рассчитанное значение тока в данной ветви является положительным, то это означает, что действительное направление тока совпадает с выбранным ранее, и наоборот.

Первый закон Кирхгофа следует из принципа непрерывности тока. Если допустить преобладание в узле токов одного направления, то заряд одного знака должен накапливаться и потенциал узловой точки должен непрерывно изменяться, что в реальных цепях не наблюдается.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрических цепей и выражает баланс напряжений в них: в контуре электрической цепи алгебраическая сумма электродвижущих сил равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур:

.

Для доказательства второго закона Кирхгофа определим потенциалы отдельных точек контура 1-2-3-4-5-6-1 в схеме, изображенной на рисунке 17, обходя контур в произвольном направлении, например, по часовой стрелке. Направления токов в элементах контура взяты также произвольно.

Обход контура начнем от точки 1, потенциал которой равен . Потенциал точки 2. Эту формулу мы получили следующим образом. Точка 2 соединяется с положительным выводом источника электрической энергии, а точка 1 – с отрицательным. Поэтому, исходя из определения напряжения, получим:

.

Для точки 3 все будет наоборот. Эта точка имеет отрицательный потенциал по отношению к точке 2, поэтому:

,

.

Рассуждая аналогичным образом, получим остальные уравнения.

,

,

,

.

Изменение потенциала по выбранному контуру должно быть равно нулю, так как оно выражает работу, затраченную на перемещение электрических зарядов по замкнутому пути. Таким образом, в замкнутом контуре .

;

.

Перенеся в левую часть уравнения значения ЭДС и, поменяв знаки, получим уравнение, соответствующее второму закону Кирхгофа в применении к выбранному контуру:

.

Для других контуров получаются другие уравнения. Их не трудно написать, не прибегая к определению потенциалов точек контура. Для этого можно воспользоваться следующим правилом. В левую часть уравнения следует записать алгебраическую сумму ЭДС, встречающихся при обходе контура, а в правую часть – алгебраическую сумму падений напряжения в сопротивлениях контура. При этом положительной считается ЭДС, направление которой совпадает с направлением обхода; положительным считается падение напряжения в сопротивлении, в котором направление тока совпадает с направлением обхода. Согласно этому правилу, ниже записаны уравнения для двух других контуров схемы (рисунок 17):

контур 1-2-3-6-1

,

контур 3-4-6-3

.

В общем случае последовательность расчета электрической цепи с использованием законов Кирхгофа такова. Предположим, что данная электрическая схема содержит m ветвей и n узлов, тогда:

1) для каждой ветви вводят обозначение протекающего через нее тока () и стрелками на схеме указывают условные положительные направления этих токов;

2) для (n-1) узлов составляют уравнения на основании первого закона Кирхгофа;

3) берут взаимно независимые контуры цепи (это означает, что в каждом новом контуре хотя бы в одной из ветвей ток не входит в предыдущие рассмотренные контуры), в каждом из этих контуров выбирают условное положительное направление обхода и обозначают его на схеме;

4) для выбранных контуров составляют уравнения по второму закону Кирхгофа с учетом направления обхода; при правильном выборе контуров их число должно быть равно (m – (n-1)). При этом общее число уравнений должно составлять m;

5) решают полученную систему из m уравнений. Если рассчитанное значение тока в данной ветви является положительным, то это означает, что действительно направление тока совпадает с выбранным ранее, и наоборот.

Пример. Электрическая схема, показанная на рисунке 18, имеет следующие параметры: 10 В,15 В, внутреннее сопротивление источников энергии -1 Ом,8 Ом,5 Ом. Найти токи во всех ветвях схемы и падение напряжения на резисторахи.

Рисунок 18 Пример электрической схемы

Схема содержит два узла и три ветви. Следовательно, полное число уравнений должно равняться трем. Из них на основании первого закона Кирхгофа составляется одно уравнение. Остальные уравнения получают на основании второго закона Кирхгофа.

Обозначения и произвольно выбранные направления токов в ветвях указаны на рисунке 18. Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа, например, для узла a :

для узла а: , (а)

В качестве независимых контуров выберем контуры I и II, показанные на рисунке 18. За положительное направление обхода примем обход контуров по часовой стрелке. На основании второго закона Кирхгофа составим два оставшихся уравнения:

для контура I: , (б.1)

для контура II: , (б.2)

Для трех неизвестных токов получена система из трех уравнений. Из выражения (а) получим значение . Подставим последнее выражение в (б.2), получим:

или .

Из последнего уравнения следует, что равно

Подставляя последнее выражение в (б.1), получим:

После математических преобразований получим значение

=-3,387 А

4,677 А

= 1,290 А.

В результате расчетов, мы получили численные значения токов. При этом ток получился отрицательным. Из этого следует, что его реальное направление противоположно выбранному.

С учетом полученных значений токов электрической цепи рассчитаем величину падения напряжения на резисторах и. Для этого применим закон Ома для участка цепи.

или =16,935 В,

или =10,320 В.

Для того, чтобы проверить правильность расчетов, составим модель схемы в Multisim (рисунок 19). Так как результат моделирования совпадает с рассчитанным вручную, то можно сделать вывод о правильности расчетов.

Рисунок 19 Модель электрической схемы

Примечание: обратите внимание на то, как подключены амперметры (см. Приложение А). Например, мы предположили, что ток течет «вверх». Но, так как ток течет от плюса к минусу, то таким же образом подключили и самый левый амперметр. С током все в точности да наоборот – он течет «вниз», поэтому и полярность включения амперметра обратная.