- •Оглавление
- •ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
- •Глава1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •1.3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
- •1.3.1. Непосредственное интегрирование
- •1.3.2. Интегрирование подстановкой ( замена переменной )
- •1.3.3. Интегрирование по частям
- •1.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
- •1.4.1. Разложение рациональной дроби на простейшие Определение. Отношение двух алгебраических многочленов
- •1.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
- •1.6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
- •Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
- •2.1. ЗАДАЧА, ПРИВОДЯЩАЯ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •2.2.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА
- •2.3.НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ
- •2.4.ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
- •2.5. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •2.5.1. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.5.2. Интегрирование по частям
- •2.6. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
- •2.6.1. Несобственные интегралы 1 рода
- •2.6.2. Несобственные интегралы 2 рода
- •2.7.ОБЩИЙ ПРИНЦИП ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •2.8.ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
- •2.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
- •2.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА
- •2.11. ПРИБЛИЖЕНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
- •“Интегральное исчисление функции одной переменной”
- •Библиографический список
Пример 3.
ππ
∫cos xdx = sin x 0 = sinπ − sin0 = 0.
1
2.5. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2.5.1. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема. Пусть дан интеграл b∫ f (x)dx , где функция f (x) не-
a
прерывна на [a; b]. Пусть x =ϕ(t), где ϕ(t) - монотонная в некоторой
области D. Если:
1)ϕ(α)= a , ϕ(β)= b, α и β D ;
2)ϕ(t) и ϕ′(t ) непрерывны на отрезке [α; β];
3)f (ϕ(t ))определена и непрерывна на отрезке [α; β],
то b∫ f (x)dx = β∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt = β∫ f1 (t)dt .
a |
α |
α |
Замечание 1. Отметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной, мы не возвращаемся к старой переменной.
Замечание 2. Чаще новую переменную вводят по формуле ψ(x)= t , тогда x =ψ −1(t), находят dx и пересчитывают пределы интегрирования
a ψ(a)
xb ~ t ψ(b).
Пример 4 .
∫3 |
x3 |
2 |
0 |
9 − x |
|
|
|
|
x = 3sin t, dx = 3cos tdt |
|
|
|
= 0 |
|
dx = x = 0,3sin t = 0, t1 |
|
|
|
|
|
x = 3,3sin t = 3,sin t =1, t |
2 |
|
|
|
|
= = π
2
42
|
π |
27 sin 3 t3cos t |
π |
sin 3 |
t cos t |
|
|
|
π |
sin 3 t cos t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = 27∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
27∫ |
|
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
|
|||||||
|
|
9 −9sin |
2 |
t |
1 −sin |
2 |
t |
|
cos t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 27∫2 (1 −cos2 |
t)sin tdt == −27∫2 (1 −cos2 |
t)d(cos t)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3 t |
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 π |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= −27 cos t − |
|
|
|
|
|
2 |
= −27 cos |
|
|
−cos 0 − |
|
cos |
|
+ |
|
|
cos |
|
0 |
|
= |
|||||||||||||||
3 |
|
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=−27 −1+ 1 = 27 2 =18.
3 3
Пример 5 . |
2+4x |
|
|
|
|
|
1(t2 −2),dx= |
1tdt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
=t2, x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
3 2 |
|
2 |
|
|
|
|
3 2 |
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
∫ |
dx= |
x=0, |
t2 =2, t |
= |
2, |
|
|
|
= |
∫ |
(t |
|
−2)t dt= |
∫ |
(t2 |
−2)dt= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2+4x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 2t |
|
8 |
|
|
|||||||||
0 |
|
|
t |
2 |
=18, |
t2 =3 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x=4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
38 2 |
|
|
19 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1 t |
|
|
= |
1 54 2 |
−6 2− |
|
|
= |
= |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
−2t |
|
|
|
|
|
+2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
8 3 |
2 |
8 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
24 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
2.5.2. Интегрирование по частям
Теорема. Если функции u = u( x ) и v = v( x ) непрерывные вместе со своими производными на [a; b], то
b |
|
ab |
b |
|
|||
∫udv = uv |
|
− ∫vdu . |
|
a |
|
|
a |
|
Доказательство. (uv)' = u' v + uv ' .
Интегрируя обе части тождества в пределах от a до b, получим:
∫b (uv)' dx = ∫b u'vdx + ∫b uv'dx .
a |
a |
a |
43