В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси OX , есть круг радиуса y = f (x), площадь которого
S =π y2 =π f 2 (x).
Тогда
b |
b |
b |
Vx = ∫ S(x)dx =π ∫ f 2 |
(x)dx =π ∫ y2dx . |
|
a |
a |
a |
Если криволинейная трапеция, |
ограниченная непрерывной функцией |
|
x =ϕ(y), осью OY и прямыми |
y = c и |
y = d , вращается вокруг оси |
OY , то объем полученного тела вращения можно вычислить |
||
d |
|
d |
Vy = ∫ϕ2 (y)dy =π |
∫ x2dy . |
|
c |
|
c |
Пример 20. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY |
||
параболы y = x2 , ограниченной прямой y = 4 (рис. 16). |
||
|
Y |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
−2 −1 O 1 2 |
X |
|
Рис.16
Решение. Объем тела вращения вокруг оси OY вычислим по формуле
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vy =π ∫ x2dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
В нашем примере x = |
|
|
|
, 0 ≤ y ≤ 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
4 |
y |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||||||
V =π ∫ |
( |
|
y )2 dy =π ∫ ydy =π |
|
|
|
= 8π . |
||
|
2 |
||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: V = 8π (куб.ед).
2.11. ПРИБЛИЖЕНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных
58
интегралов по формуле Ньютона – Лейбница затруднительно и применяются различные методы вычисления определенных интегралов.
Разделим отрезок интегрирования на четное число частей n = 2m. Сущность метода парабол состоит в том, что площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0 ;x1] и [x1;x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменяется площадью такой криволинейной трапецией, которая сверху ограничена параболой, проходящей через 3
точки (рис. 17): M0(x0,y0), M1(x1,y1), M2(x2,y2).
Y
M2
M0 y=f(x)
M1
O x0 x1 x2 |
X |
Рис. 17
Площадь параболической трапеции на отрезке [x0 ; x2] будет равна
S = ∆3x ( y0 +4 y1 + y2 ),
т. е. мы имеем приближенное равенство
|
x∫2 |
f (x)dx ≈ |
∆x |
( y0 + 4 y1 + y2 ) |
|
x0 |
|
3 |
|
и на каждом отрезке [x2i-2 ; x2i] |
|
|
||
x2i |
|
3 |
|
|
∫ |
|
+ 4 y2i−1 + y2i ), i = 1,2,…m |
||
|
f ( x )dx ≈ |
∆x ( y2i−2 |
||
x2i−2
Просуммировав площади параболических трапеций, будем иметь
b |
f (x)dx ≈ |
b −a |
[ y0 + y2m +2( y2 + y4 +... + y2m −2 ) + |
|
∫ |
||||
6 m |
||||
a |
|
|
+4( y1 + y3 +... + y2m −1)].
Это и есть формула Симпсона.
1
Пример 21. Вычислить интеграл ∫
1+ x4 dx .
0
Данный интеграл от дифференциального бинома в дифференциальных функциях не вычисляется.
59
Разделим отрезок интегрирования на 10 равных частей, длина час-
тичного отрезка ∆x = |
b − a |
= 0,1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Составим таблицу. |
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
xk |
yk=f(xk) |
|
3 |
0.3 |
1.00404 |
7 |
0.7 |
|
1.11360 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
4 |
0.4 |
101272 |
8 |
0.8 |
|
1.18727 |
|
1 |
0.1 |
1.00005 |
|
5 |
0.5 |
1.03078 |
9 |
0.9 |
|
1.28690 |
|
|
2 |
0.2 |
1.00080 |
|
6 |
0.6 |
1.06283 |
10 |
1.0 |
|
1.41421 |
|
По формуле Симпсона m = 5 (n = 2m, n = 10)
1 |
1+ x4 dx ≈ b −a [ y0 + y10 + 2( y2 + y4 + y6 + y8 ) + |
|
|
∫ |
|
||
0 |
|
6 5 |
|
+ 4( y1 + y3 + y5 + y7 + y9 )] = |
|
||
= |
1 |
1+1,41421+ 2(1,0008 +1,01272 +1,06283 +1,18727)+ |
= |
30 |
4(1,00005 +1,00404 +1,03078 + +1,11360 +1,28690) |
||
= |
1 |
32,68293 =1,089431. |
|
30 |
|
||
|
|
|
|
60