TAU-Lektsia_2_1
.pdf
5°. Умножение оригинала на a–(k+ε)αT0. z-преобразование от произведения |
|
|||||||||
x k m T0 |
a k T0 определяется следующим образом: |
|
||||||||
|
Z x k T0 a k T0 a T0 |
X * a T0 z, |
(7.18) |
|||||||
|
|
|
|
ε = 0 |
|
|
|
|||
|
Z x kT a k T0 X * a T0 z |
(7.19) |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем обычное и модифицированное z-изображения функции y kT0 e kT0 . |
||||||||||
Положив в (7.18) x[(k+ε)T0] = 1[(k+ε)T0] и а = е, получим |
|
|||||||||
|
Z e k T0 e T0 |
e T0 z |
z |
|
||||||
|
|
|
|
e T0 |
|
|
|
(7.20) |
||
|
e T0 |
z 1 |
|
z e T0 |
||||||
|
|
|
|
|
ε = 0 |
|
|
|
||
|
Z e |
k T0 |
|
|
z |
|
|
(7.21) |
||
31 |
|
z e T0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6°. Теорема о свертке. Произведение изображений |
X |
* |
(z, ) и |
X * (z, ) |
равно |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
z-преобразованию от свертки их оригиналов x1[(k+ε)T0] и x2[(k+ε)T0]: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X * z, X * z, Z |
|
|
x |
i T x |
2 |
k i |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
(7.22) |
||||
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Z |
|
i |
|
x |
|
i T |
x |
|
k i T |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ε = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X * z X * z Z |
|
i |
x iT |
x |
|
|
|
|
|
|
Z |
|
i |
x |
|
iT |
x |
k i T |
|
|
||||||||
|
|
2 |
k i T |
|
|
2 |
|
(7.23) |
||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7°. Теоремы о граничных значениях. Начальное значение решетчатой функции x[kT0] по ее обычному и модифицированному z-изображению определяется следующим образом:
x T lim X * (z, ), |
x 0 lim X * z |
(7.24) |
|
0 |
z |
z |
|
|
|
||
Предел x lim x[kT0 ] при условии, что он существует, определяется |
|
||
k |
|
|
|
следующим образом: |
|
|
|
x lim z 1 X * z, lim z 1 X * z |
(7.25) |
||
|
z 1 |
z 1 |
|
32
Доказательство свойств z-преобразование и раздел z- изображения основных функций рассматриваются в рамках самостоятельной работы:
Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1. Линейные системы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. (стр. 199-205)
33
7.4. Уравнения и передаточные функции дискретных систем
Если дискретная система задается разностным уравнением, то ее передаточные функции определяются аналогично передаточным функциям непрерывных систем. Отличие состоит только в том, что в случае дискретных систем вместо оператора дифференцирования р используется оператор смещения Е, а вместо преобразования Лапласа – z-преобразование.
Пусть дискретная система управления описывается разностным уравнением
a0 y[(k n)T0 ] a1 y[(k n 1)T0 ] ... an y[kT0 ] |
|
|
(7.27) |
||||||
|
b0u[(k m)T0 ] b1u[(k m 1)T0 ] |
... bmu[kT0 ] |
|||||||
|
|
||||||||
у[kT0] – выходная переменная, |
|
|
|
|
|
|
|
||
u[kТ0] – входная переменная, |
|
|
|
|
|
|
|
||
ai (i = 1, 2,..., n) и bi (i = 1, 2,..., m) – константы. |
|
|
|
|
|
||||
В операторной форме это уравнение принимает вид |
|
|
|
|
|||||
(a En a En 1 |
... a ) y[kT ] (b Em b Em 1 |
... b )u[kT ] |
|
||||||
0 |
1 |
n |
0 |
0 |
1 |
|
m |
0 |
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разностный оператор при выходной переменной
Q* (E) a 0 En a1En 1 ... an
называется собственным (разностным) оператором, а разностный оператор при входной переменной
P* (E) b0 Em b1 Em 1 ... bm
– (разностным) оператором воздействия.
Отношение оператора воздействия к собственному оператору называется
передаточной функцией в операторной форме.
В соответствии с этим определением передаточная функция (в операторной форме) системы управления (7.27) равна
W |
* |
(E) |
P* (E) |
|
b Em b Em 1 |
... b |
|
|
||
|
|
|
0 |
1 |
m |
(7.28) |
||||
|
Q* (E) |
a |
0 |
En a En 1 |
... a |
n |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
Имеющее наименьший порядок отношение z-изображений (при нулевых начальных условиях) выходной и входной переменных называется
передаточной функцией в z-изображениях.
35
Для вычисления передаточной функции в z-изображениях системы управления (7.27) применим к обеим частям этого уравнения z-преобразование. Используя свойство линейности z-преобразования, можем записать
a0 Z{y[(k n)T0 ]} a1Z{y[(k n 1)T0 ]} ... an Z{y[kT0 ]}
b0 Z{u[(k m)T0 ]} b1Z{u[(k m 1)T0 ]} ... bm Z{u[kT0 ]}
Всоответствии с теоремой опережения при нулевых начальных условиях
(y[0] = y[T0] = … = y[(n – 1)T0] = 0, и u[0] = u[T0] = … = u[(m – 1)T0] = 0) имеем
Z{y[(k i)]} ziY * (z) |
Z{u[(k i)]} ziU * (z) |
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
(a zn a zn 1 |
... a )Y * (z) (b zm b zm 1 |
... b )U * (z) |
|||
0 |
1 |
n |
0 |
1 |
m |
Отсюда для передаточной функции в z-изображениях W* (z) получаем
W |
* |
(z) |
|
Y * (z) |
|
b zm b zm 1 |
... b |
|
(7.29) |
|
|
|
|
0 |
1 |
m |
|||||
|
U * (z) |
a zn a zn 1 |
... a |
n |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
36
Сравнивая передаточные функции в операторной форме (7.28) и в z- изображениях, нетрудно заметить, что
W * (z) W * (E) |
E z |
|
Передаточная функция W*(z) является функцией комплексной переменной z, и по определению она не содержит одинаковых нулей и полюсов. Поэтому если передаточная функция в операторной форме W*(E) имеет одинаковые нули и полюсы, обратное равенство
W * (E) W * (z) |
z E |
|
не имеет места.
Передаточная функция W*(E) является оператором и уравнение
y[kT0 ] W * (E)u[kT0 ]
где W*(E) определяется соотношением (7.28), представляет собой операторную (символическую) форму записи уравнения (7.27). В правой части нельзя переставлять местами оператор и входную переменную.
37
7.5. Вычисление передаточных функций АИМ-системы
Импульсные системы управления, кроме импульсных систем с амплитудноимпульсной модуляцией (АИМ-системы), являются нелинейными.
Однако цифровые системы управления и системы управления с широтноимпульсной модуляцией (ШИМ-системы) при определенных условиях могут рассматриваться как АИМ-системы.
Поэтому начнем рассмотрение с АИМ-систем. Заметим, что здесь речь идет только об импульсных системах управления с импульсной модуляцией 1-го рода.
38
7.5.1. Эквивалентная схема АИМсистемы
g(t) |
e(t) |
u(t) |
Непрерывная |
y(t) |
|
|
АИМ -элемент |
часть |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
Для получения математического описания АИМ-системы управления АИМэлемент представим в виде эквивалентной схемы, состоящей из простейшего импульсного звена и формирующего звена.
e(t) |
|
|
|
e*(t) |
ФЗ |
u1(t) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Простейшее импульсное звено представляет собой звено, которое преобразует входную функцию e(t) в обобщенную решетчатую функцию
|
|
e* (t) e(t) (t iT0 ) |
(7.30) |
i 0 |
|
Т0 – период выходного сигнала АИМ-элемента.
Формирующее звено (ФЗ) формирует из обобщенной решетчатой функции e*(t) сигнал, тождественно равный выходному сигналу АИМ-элемента (условие эквивалентности).
Найдем весовую и передаточную функции формирующего звена. Если (t) – весовая функция формирующего звена, то на ее выходе
|
|
|
u1 (t) |
(t )e* ( )d |
(t ) e( ) ( iT0 )d |
0 |
0 |
i 0 |
Поменяв порядки интегрирования и суммирования и произведя интегрирование, получим
u1 (t) e[iT0 ] (t iT0 ) (7.31)
i 0
40