TAU-Lektsia_2_1

В импульсном элементе происходит модуляция, т. е. в соответствии с входным сигналом изменяется один из параметров последовательности импульсов на выходе:

•амплитуда Аи – амплитудно-импульсная модуляция (АИМ);

•ширина (длительность) импульса – широтно-импульсная модуляция

(ШИМ);

•частота следования импульсов – частотно-импульсная модуляция

(ЧИМ) и другие.

Импульсный элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную модуляцию, называют АИМ-элементом, а импульсный элемент, осуществляющий широтноимпульсную модуляцию, называют ШИМ-элементом.

Импульсную систему управления, содержащую АИМ-элемент, называют АИМсистемой управления, а импульсную систему управления, содержащую ШИМ-

элемент, называют ШИМ-системой управления.

11

Различают импульсную модуляцию 1-го и 2-го родов:

При импульсной модуляции 1-го рода модулируемый параметр изменяется в соответствии со значениями входного (модулирующего) сигнала в дискретные моменты времени, называемые моментами съема сигнала.

При модуляции 2-го рода модулируемый параметр изменяется в соответствии со значениями модулирующего сигнала в течение всего времени существования импульса.

12

7.2. Линейные разностные уравнения

Линейные дискретные системы описываются линейными разностными уравнениями.

Пусть дана дискретная функция, т.е. функция x(t), у которой аргумент принимает дискретные значения, кратные Т0: t = kT0, k = 0,1,2,...

Функция x(t), определяемая формулой

x(t) =x(t + T0) – x(t),

называется первой (конечной) разностью (разность первого порядка).

Рекуррентно k-я (конечная) разность (разность k-го порядка) определяется следующим образом:

0x(t) = x(t), kx(t) = k-1x(t + T0) – k-1x(t), k = 1,2,...

13

Введем в рассмотрение оператор смещения Е

Ex(t) =x(t + T0).

Используя этот оператор, конечные разности можно представить следующим образом:

x(t) = Ex(t) – x(t) = (Е – 1)x(t),

2x(t) = E x(t) – x(t) = (E – 1) x(t) = (E – 1)2x(t),

………………………………………………………………………………

nx(t) = E n-1x(t) – n-1x(t) = (E – 1)Δn-1x(t) = (E – 1)nx(t).

По формуле бинома Ньютона имеем

14

Уравнение

y(t) — неизвестная дискретная функция, называется (конечным) разностным уравнением n-го порядка. Используя формулу (7.1), уравнение (7.2) всегда можно преобразовать к виду

Если a0≠0 и an≠0, то уравнение (7.3) также называют (конечным) разностным

уравнением n-го порядка.

Здесь всюду коэффициенты уравнения предполагаются вещественными и постоянными.

Уравнение

которое получается из уравнения (7.3) приравниванием нулю правой части,

называется однородным (конечным) разностным уравнением,

соответствующим неоднородному разностному уравнению (7.3).

15

Используя оператор смещения Е, уравнение (7.3) можно записать в

операторной (символической) форме

a0 En y t a1 En 1 y t ... an y t t

или

Соответствующее однородное уравнение в операторной форме принимает вид

Общее решение неоднородного разностного уравнения (7.3) имеет вид y t yв t yс t

yв(t) — частное решение этого уравнения, определяющее вынужденное движение;

yc(t) — общее решение соответствующего однородного уравнения (7.4), определяющее свободное движение.

16

Решение однородного уравнения ищется в виде y t t . Подставив это выражение в (7.4), получим

(a0 nT a1 n 1 T ... an ) t 0

Это равенство будет выполнено тождественно относительно t, если

которое называется характеристическим уравнением. Левая часть этого уравнения получается из разностного оператора при неизвестной функции в уравнениях (7.5) и (7.6) при замене Е на z.

Таким образом, решением однородного разностного уравнения (7.4) будет

y ti zit /T

zi — корень характеристического уравнения (7.7).

17

Если все корни zi (i = 1, 2,..., n) характеристического уравнения простые (т.е. различные), то общее решение однородного разностного уравнения (7.4) имеет вид

Сi — произвольные постоянные.

Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень zj кратности kj, то ему в (7.8) соответствует слагаемое

Если имеются простые комплексно-сопряженные корни zk,k+1= α ± jβ, то соответствующие им два слагаемых можно заменить на

18

Характеристическое уравнение имеет вид

z2 5z 6 0

yc C1 3t /T0 C2 2t /T0

Общее решение неоднородного разностного уравнения

y t yв t yc t 2t 3T0 C1 3t /T0 C2 2t /T0.

20