1.3. Синтез базовой матрицы низкочувствительных фильтров

Метод синтеза базовой матрицы низкочувствительного фильтра

(1.5)

основан на применении разложения функции входного иммитанса в непрерывную (цепную) дробь [1]. В (1.5) – неизвестные переменные;– частотаκ-го нуля функции передачи фильтра; n – порядок ФНЧ-прототипа.

Для матрицы (1.5) очевидны следующие соотношения между определителем и алгебраическими дополнениями:

где – число нулей передачи;– (r + 1)-кратное алгебраическое дополнение, т.е.и т. д.

Если вычеркнуть ()-ю строку и ()-й столбец в матрице (1.5), то отношение алгебраических дополненийможно рассматривать как входное сопротивление некоторой цепи без потерь. Алгебраические дополненияиможно выразить через знаменательфункции передачии числительхарактеристической функции:

,

где и– полиномы, нормированные к коэффициенту при старшем члене.

Синтез матрицы (1.5) выполняется путем последовательного выделения нулей передачи из функции входного сопротивления:

Здесь ;коэффициент приполиномаисвободные члены полиномови.

2. Конверторные фильтры

2.1. Синтез лестничныхLc-фильтров

Конверторные фильтры представляют собой имитационные модели лестничных LC-фильтров, которые отличаются наиболее низкой параметрической чувствительностью.

Матрица иммитансов лестничного LC-ФНЧ-прототипа может быть получена из матрицы (1.5) путем исключения всех четных строк и столбцов. В результате матрица (1.5) для фильтров четного (здесь) и нечетного (здесь) примет вид:

Учитывая, что элементы матрицы (1.5), как и матриц (2.1) и (2.2), величины безразмерные, матрицы (2.1) и (2.2) можно считать или матрицами сопротивлений, или матрицами проводимостей. Полагая, что матрицы (2.1) и (2.2) – это матрицы сопротивлений, им будет соответствовать схема LC-фильтра, изображенная на рис. 2.1,б(схемаB). Схема нечетного () порядка, описываемая матрицей сопротивлений (2.2), получается из схемы рис. 2.1,б, если положить. Соотношения между параметрами элементов схемLC-фильтра типаB и значениями коэффициентовматриц сопротивлений (2.1) и (2.2) имеют вид:

(2.3)

где в зависимости от четности или нечетностиn.

Рис. 2.1. СхемыА(а) иВ(б) лестничногоLC-ФНЧ-прототипа

Если считать матрицы (2.1) и (2.2) матрицами проводимостей, то, после изменения нумерации их строк и столбцов, они будут описывать схему A лестничногоLC-фильтра (рис. 2.1,а). В схеме фильтра нечетного порядка (нечетногоn). Соотношения между параметрами элементов схемыА и значениями коэффициентовматриц (2.1) и (2.2) имеют вид:

(2.4)

где при четномnиприn нечетном.

На основании соотношений (2.3) и (2.4) можно установить соответствия между параметрами элементов схем А иВ:

, (2.5)

где .

Нули передачи в схеме рис. 2.1,ареализуются за счет включения параллельно катушкам индуктивности конденсаторов, а в схеме рис. 2.1,б– за счет включения катушек индуктивности последовательно с конденсаторами. У полиномиального лестничногоLC-фильтра схемыАиВодинаковы, поскольку у них отсутствуют элементы, обеспечивающие реализацию нулей передачи (конденсаторы с нечетными номерами в схемеАи катушки индуктивности с четными номерами в схемеВ).

При переходе от ФНЧ-прототипа к фильтру верхних частот используется стандартное частотное преобразование (1.4), применяемое к проводимостям элементов исходного фильтра:

(), что в результате приводит к формальной замене конденсаторов и катушек индуктивности в схеме рис. 2.1 на соответственно катушки индуктивности и конденсаторы (рис. 2.2) с параметрами

; (2.6)

при этом значения сопротивлений резисторов не изменяются:

.

Рис. 2.2.СхемыА(а) иВ(б) лестничногоLC-фильтра верхних частот

Переход от ФНЧ-прототипа к полосовому фильтру выполняется путем применения к проводимостям конденсаторов и сопротивлениям катушек индуктивности схемы А стандартного частотного преобразования (1.4):

;

(), результатом чего становится формальная замена каждого конденсатора и каждой катушки индуктивности схемы рис. 2.1,ана соответственно параллельное и последовательное соединение конденсатора и катушки индуктивности, как показано на рис. 2.3.

Рис. 2.3.Полосовой лестничныйLC-фильтр 6-го порядка

Применительно к обозначениям, принятым на рис. 2.3, параметры элементов полосового фильтра связаны с параметрами элементов схемы АФНЧ-прототипа следующими зависимостями:

,

где .

Учитывая соотношения (2.5) между параметрами элементов схем АиВ, можно выразить параметры элементов полосового фильтра через параметры элементов схемыВФНЧ-прототипа:

(2.7)

где .

На рис. 2.3 изображена схема ПФ четного порядка, в отличие от которой в схеме нечетного порядка будут отсутствовать элементы .

Матрица проводимостей схемы рис. 2.3 имеет следующий вид:

где , причем приj<i.

Если n нечетное, то отсутствуют 0-й и 1-й столбцы, а также 0-я и 1-я строки. При этом элемент на пересечении 2-го столбца и 2-й строки имеет вид.

Как у LC-фильтров, так и у их конверторных моделей наблюдаются динамические перегрузки, когда максимальное напряжение во внутренних узлах схемы превышает максимальное выходное напряжение, что характеризуется коэффициентами динамической перегрузки

,

где – максимальный коэффициент передачи с входа на выход фильтра;– максимальный коэффициент передачи с входа вκ-й узел схемы.

Чтобы уменьшить перегрузку в κ-м узле схемы, необходимо в этом узле увеличить проводимость собственных элементов (т.е. элементов, расположенных между этим узлом и общей шиной), а в тех узлах, где , наоборот, уменьшить. Эти преобразования выполняются таким образом [1], чтобы не изменилась функция передачи фильтра, для чего каждыйκ-й столбец и каждую κ-ю строку матрицы проводимостей фильтра умножают на коэффициент

,

где – максимальные значения частных коэффициентов передачи до оптимизации;– желаемое (или возможное) значение, которое получится после оптимизации.

Поскольку у лестничных ФНЧ и ФВЧ (см. рис. 2.1 и 2.2) собственные элементы узлов только одного типа, оптимизация коэффициентов динамической перегрузки у них невозможна, так как для этого потребовались бы элементы с отрицательными параметрами (емкостями, индуктивностями). У полосовых лестничных LC-фильтров оптимизация возможна, причем, если выбратьодинаковыми и равными максимальному коэффициенту передачи на выход фильтра, то полностью исключаются перегрузки вκ-х узлах (), но при этом в некоторых случаях и здесь могут потребоваться элементы с отрицательными параметрами. Чтобы избежать применения таких элементов, необходимо изменить значение.

После оптимизации коэффициентов динамической перегрузки вид матрицы (2.8) не изменится, но элементы матриц с нечетнымиi теперь будут содержать и составляющие , что означает появление заземленных параллельныхLC-контуров в соответствующих узлах схемы рис. 2.3.

Применение частотных преобразований (1.4) применительно к LC-фильтрам, как было показано выше, приводит к замене одних реактивных элементов на другие, поэтому преобразования (1.4) называют еще реактансными преобразованиями.