- •VII. Интегральное исчисление функции одного переменного
- •1. Неопределённый интеграл
- •2. Таблица основных неопределённых интегралов
- •3. Основные свойства неопределённого интеграла
- •4. Интегрирование методом замены переменного
- •5. Интегрирование по частям
- •6. Интегрирование рациональных функций Интегрирование рациональной функции
- •7. Интегрирование тригонометрических функций
- •8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •9. Определённый интеграл
- •10. Несобственные интегралы
- •11. Вычисление площадей плоских фигур
- •12. Вычисление длины дуги
- •13. Вычисление объёмов тел
- •14. Приближённое вычисление определённых интегралов
- •Задание 7.1
- •Задание 7.2
- •Задание 7.3
- •Задание 7.4
- •Задание 7.5
- •Задание 7.6
- •Задание 7.7
- •Задание 7.8
- •Задание 7.13
- •Задание 7.14
- •Задание 7.15
- •Задание 7.16
- •Задание 7.17
- •Задание 7.18
- •Задание 7.19
- •Задание 7.20
- •Задание 7.21
- •Задание 7.22
10. Несобственные интегралы
1. Несобственный интеграл I рода. Пусть функция f(x) определена на и интегрируема на отрезке [a; b] для любого. Несобственный интеграл первого рода определяется равенством
.
Если существует конечный предел в этом равенстве, то интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы
и :
, .
Пример 19. Вычислить: а); б); в).
Решение.
а)
.
б)
,
и интеграл расходится;
в)
.
Несобственный интеграл I рода обладает свойством линейности:
(при условии сходимости интегралов в правой части равенства).
Для исследования вопроса сходимости несобственного интеграла часто оказывается полезным следующий факт: пусть , тогда:
Аналогичное утверждение справедливо для интеграла ,, и, a > c.
Теорема 5 (первый признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на , для любого b>a f(x), g(x) интегрируемы наи. Тогда имеем:
если сходится, то сходится и;
если расходится, то расходится и.
Теорема 6 (второй признак сходимости). Пусть f(x) и g(x) определены на ,и пусть существует конечный предел. Тогда интегралы,ведут себя одинаково в смысле сходимости (т.е. одновременно сходятся или расходятся).
Теорема 7. Если сходится, то сходится и
(в таком случае говорят, что сходится абсолютно).
Аналогичные утверждения справедливы для несобственного интеграла .
Пример 20. Исследовать на сходимость интегралы:
а) ; б); в).
Решение. а) Подынтегральная функция представляет собой рациональную функцию, разность степеней числителя и знаменателя равна 2. Рассмотрим вспомогательную функцию. Найдём предел
.
Следовательно, согласно второму признаку сходимости, интегралы иведут себя одинаково в смысле сходимости. Но известно, чтосходится, значит и наш интегралсходится.
б) является иррациональной функцией; степень числителя равна 3/2 (числитель можно представить как), степень знаменателя равна 2. Рассмотрим вспомогательную функцию. Докажем, что существует конечный предел, не равный 0. Действительно,
.
Поэтому ,ведут себя одинаково в смысле сходимости. А так какрасходится, то расходится и.
в) Обозначим . Так как, то. Интегралсходится (доказывается это, как и выше:,сходится и можно воспользоваться вторым признаком сходимости). Мы попадаем в условие теоремы 5 (часть 1), в которой говорится, что наш интеграл сходится.
2. Несобственный интеграл II рода. Пусть функция f(x) определена на [a; b) и (или = –). Несобственный интеграл второго рода функции f(x) на [a; b определяется равенством
.
Если существует конечный предел в этом равенстве, то говорят, что интеграл сходится, в противном случае – расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл II рода для случаеви. Если же f(x) неограниченна в любой окрестности некоторой внутренней точки, то полагают
.
Пример 21. Вычислить интегралы: а) ; б).
Решение. а)
.
б)
.
Значит, интеграл расходится.
Формулировки признаков сходимости для несобственных интегралов II рода, по существу, ничем не отличаются от формулировок признаков сходимости для несобственных интегралов I рода. Для применения этих признаков полезно пользоваться тем, что
,
Пример 22. Исследовать на сходимость интегралы:
а) ; б); в).
Решение. а) . Подынтегральная функцияв промежутке [2; 3] имеет особую точку x = 2. Множительстремится к 1/2 при. Поэтому естественно ожидать, что наша функция в окрестности точки x = 2 ведёт себя, как; проверим это:
.
Следовательно, согласно второму признаку сходимости, интегралы иведут себя одинаково в смысле сходимости. Но второй интеграл сходится (p = 1/2 < 1), поэтому сходится и наш интеграл.
б) Функция имеет на промежутке [0; 1] одну особую точку x = 0. Функциииявляются бесконечно малыми величинами при. Известно, что , x2 при . Поэтомупри. А так какрасходится, то расходится и наш интеграл.
в) Разложим знаменатель () подынтегральной функциипо формуле Тейлора в окрестности особой точкифункции:
.
Следовательно, .
Известно, что сходится, следовательно, сходится и наш интеграл.