Модуль 2.Обнаружение, различение и фильтрация сигналов

Лекция 5. Задача обнаружения сигналов

Результатом воздействия помех является частичная или полная потеря информации, переносимой полезным сигналом. Приемное устройство, осуществляя обработку входного сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, должно обеспечить извлечение из принятого сигнала возможно большего количества необходимой информации.

Основная задача приемника состоит в том, чтобы па основании принятой реализации решить наилучшим в каком-то определенном смысле способом, имеется ли данный сигнал в данной реализации (задача обнаружения или различения), или каковы параметры полезного сигнала (задача восстановления). В связи с этим должны быть выработаны критерии, позволяющие по принятому сигналу оптимальным способом решить поставленную задачу.

Задача выбора оптимального способа обработки сигналов и выработки при этом соответствующих критериев составляет содержание теории статистических решений.

С целью наглядного представления положений теории статистических решений введены геометрические понятия пространства принимаемого сигнала (смотри рис. 2.1)

Рис. 2.1 Пространство принимаемого сигнала

Пусть отсчеты принимаемого сигнала, являющегося суммой полезного сигнала и помехи, осуществляются в дискретные моменты времени . Отсчетные значения принятого сигнала называют выборочными значениями, а их совокупность — выборкой. Число п выборочных значений называют размером (или объемом) выборки.

Совокупность выборочных значений представляют геометрически в виде радиус-вектора Y в n-мерном пространстве, где — координаты конца вектора. Так как величины случайны, то вектор Y также является случайным вектором. Множество возможных значений вектора Y составляет пространство наблюдений V. Общая вероятность попадания конца вектора Y в произвольную точку пространства V

(2.1)

По аналогии вводят понятия вектора полезного сигнала и вектора помех и соответственно им понятие пространства полезного сигнала и пространства помех.

После нахождения вектора принятого сигнала Y мы не можем однозначно судить о векторе полезного сигнала X. Речь может идти только об апостериорной плотности вероятности

, т. с. условной плотности веро­ятности X, если задан вектор Y.

Вычисление апостериорной плотности вероятности можно выполнить с помощью формулы Байеса

(2.2)

Безусловная плотность вероятности определяется соотношением

(2.3)

Подставляя значение из (2.3) в (2.2), получим

(2.4)

Если вектор X может иметь конечное число возможных значений с априорными вероятностями , то формула (2.4) принимает вид

(2.5)

Следовательно, для нахождения искомой апостериорной вероятности (или плотности вероятности) необходимо знать р(X) или , т. е. априорные характеристики полезного сигнала, и , определяемые априорными характеристиками полезного сигнала и помехи, а также характером их композиции.

Для определения апостериорных вероятностей p(X/Y) или плотностей вероятностей необходимо знать , которая при заданном значении Y будет зависеть только от X

(2.6)

Функция L(X) называется функцией правдоподобия. В зависимости от того, является ли X дискретной или непрерывной величиной, функция правдоподобия L(X) может принимать конечное или бесконечное множество значений.

Рассмотрим основные критерии, используемые при решении задачи оптимального приема. Начнем с простейшей задачи — задачи обнаружения сигналов. Задача обнаружения, как отмечалось, состоит в том, чтобы в результате обработки принятого сигнала Y установить, содержится ли в нем полезный сигнал X или нет.

Пусть принимаемый сигнал является суммой полезного сигнала и помехи

Полезный сигнал может принимать дна значения: х₁ и х₀ с априорными соответственно вероятностями р(х₁) и р(х₀). 'Гак как сигнал X наверняка имеет одно из этих двух значений, то справедливо соотношение

(2.7)

Таким образом, возможны две взаимно исключающие (альтернативные) гипотезы: в принятом сигнале содержится полезный сигнал (гипотеза Н₁) и отсутствует полезный сигнал (гипотеза Н₍₎). Решающее устройство приемника по данным выборки должно установить, какая из этих гипотез является истинной.

В геометрической интерпретации поставленная задача может быть сформулирована следующим образом. Пространство принятых сигналов V условно разбивается на две части: область V₁ соответствующую принятию гипотезы Н₁ о том, что X=х₁ и область V₀ соответствующую принятию гипотезы Н₍₎ о том, что X = х₀. Это значит, что если вектор принятого сигнала окажется в пределах области V₁ то принимается гипотеза Н₁. Если же вектор сигнала Y окажется в области V₀, то принимается гипотеза Н_о.

В этих условиях могут иметь место два значения апостериорной вероятности p(X/Y): p(x/Y) — условная вероятность наличия полезного сигнала X при данном значении выборки Y, р(x₀/У) — условная вероятность отсутствия X при данном значении выборки Y.

Аналогично можно рассматривать два значения функции правдо­подобия L(X): — условная плотность вероятности выборки Y при наличии полезного сигнала X; — условная плотность вероятности выборки Y при отсутствии X.

Отношение функций правдоподобия

(2.8)

принято называть отношением правдоподобия.

Для выбора гипотезы Н₁ или Н₍₎ должно быть взято за основу определенное правило принятия решений.

Выбор правила принятия решения в математическом отношении сводится к оптимальному разбиению пространства принимаемых сигналов V на области V₁ и V₀

Для того чтобы выбрать то или иное правило принятия решения, необходимо руководствоваться определенными критериями.

Критерий максимума правдоподобия. Этот критерий формулируется следующим образом: наиболее правдоподобно то значение параметра X, для которого функция правдоподобия L(X) максимальна.

В соответствии с этим критерием в случае двухальтернативиой ситуации (обнаружение сигнала) сравнивается два значения функции правдоподобия — и , и принимается та гипотеза, которой соответствует большее значение функции правдоподобия. Если, например, , то принимается гипотеза Н₁. Если же , то принимается гипотеза Н₍₎.

Этот критерий можно записать в следующем виде через отношение правдоподобия

если , то Х=х₁

(2.9)

при , то Х=х₀

Таким образом, в соответствии с данным критерием методика принятия решения сводится к следующему: вычисляются функции правдоподобия и , определяется отношение правдоподобия , и в зависимости от того, больше, равно или меньше , единицы принимается соответствующая гипотеза.

Практическое достоинство данного критерия заключается в том, что при его применении не требуется знания априорных вероятностей р(х₁) и р(х₀) сигнала X.

Критерий максимума апостериорной вероятности. По этому критерию при полученном значении выборки Y принимается та гипотеза, при которой апостериорная вероятность р(Х/Y) максимальна.

Для случая двухальтернативной ситуаций сравниваются два значения апостериорной вероятности p(x₁/Y) и p(x₀/Y). Обычно рассматривается отношение этих величин и правило принятия решения записывается в виде:

если , то Х=х₁

(2.10)

если , то Х=х₀

Используя формулу Байеса (2.5), выразим отношение апостериорных вероятностей через отношение функций правдоподобия

(2.11)

Тогда критерий максимума апостериорной вероятности (2.10) может быть следующим образом выражен через отношение правдоподобия:

если , то Х=х₁

(2.12)

если , то Х=х₀

Соотношения (2.12) можно представить в виде:

если , то Х=х₁

(2.13)

если , то Х=х₀

Таким образом, процедура принятия решения согласно критерию максимума апостериорной вероятности такая же, как и согласно критерию максимума правдоподобия. Отличие заключается лишь в том, что в первом случае отношение правдоподобия сравнивается с единицей, а во втором случае — с отношением априорных вероятностей . При наличии априорных данных р(х₁) и р(х₀) целесообразно применять критерий максимума апостериорной вероятности, так как при этом имеется возможность пользоваться дополнительной информацией, позволяющей точнее решить задачу обнаружения сигнала.

Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова). Согласно данному критерию принимается та гипотеза, при которой обеспечивается минимум общей ошибки принятия решения.

При решении задачи обнаружения сигнала могут иметь место ошибки двух родов:

1) при отсутствии полезного сигнала вектор принятого сигнала Y оказывается в области V₁ и принимается в соответствии с этим гипотеза Н₁;

2) при наличии полезного сигнала вектор Y оказывается в области V₀ принимается гипотеза Н_о. Первая ошибка называется ошибкой первого рода, или «ложной тревогой». Вторая ошибка называется ошибкой второго рода, или «пропуском сигнала». Количественно ошибки первого и второго рода оцениваются условными вероятностями и ошибочных решений о наличии полезного сигнала, когда в действительности он отсутствует, и об отсутствии сигнала, когда в действительности он имеется

(2.14)

Общая безусловная вероятность ошибочного решения определяется выражением

(2.15)

Критерий идеального наблюдателя минимизирует общую ошибку, определяемую, выражением (2.15).

Следовательно, условие оптимального решения по критерию

идеального наблюдателя имеет вид

Подставим в (2.15) из (2.14) значения ошибок первого и второго рода

(2.17)

Ошибку второго рода можно представить в виде

(2.18)

Подставив из (2.18) в (2.17) значение р, получим

(2.19)

Условие (2.16) будет обеспечено, если интеграл в (2.19) будет

максимален. Для этого нужно так выбрать область V₁, чтобы

подынтегральная функция была положительной, т. е.

(2.20)

Условие (2.20) определяет принадлежность вектора Y области V₁, т. е. выбор гипотезы Н₁. Перепишем (2.20) в виде:

если , то Х=х₁

если , то Х=х₀

Таким образом, правила решения, соответствующие критериям идеального наблюдателя и максимума апостериорной вероятности, совпадают. Отличие заключается лишь в исходных условиях.

Критерий Неймана—Пирсона. Данный критерий основам на том, что ошибки первого и второго рода не одинаково опасны, причем ошибка первого рода приводит к таким последствиям, что се вероятность необходимо ограничить некоторой очень малой величиной. Вторую ошибку желательно при этом обеспечить минимальной.

Исходя из этого, критерий Неймана—Пирсона можно сформулировать следующим образом: наилучшим решением является такое, при котором обеспечивается наименьшая вероятность ошибки второго рода при заданной допустимой вероятности ошибки первого рода.

Итак, согласно критерию Неймана—Пирсона должно быть обеспечено

(2.21)

при

(2.22)

Задача может быть решена методом Лагранжа отыскания условного экстремума. Опуская промежуточные выкладки запишем конечный результат.

Правило принятия решения согласно критерию Неймана— Пирсона может быть записано в виде:

если , то Х=х₁

(2.23)

если , то Х=х₀

Пороговое значение определяется из равенства

(2.24)

Критерий минимального риска (критерий Байеса). Этот критерий учитывает не только неравноценность ошибок первого и второго рода, но и те последствия, к которым приводят эти ошибки. Для учета этих последствий введены весовые коэффициенты (коэффициенты цены ошибок) Г| и г_О1, приписываемые соответственно ошибкам первого и второго рода.

Усредненная величина

(2.25)

получила название риска.

В соответствии с критерием минимального риска правило выбора решения формулируется следующим образом: принимается та гипотеза, при которой обеспечивается минимальный риск.

Представим (2.25) в виде

(2.26)

Минимум выражения (2.26) будет при условии, если подынтегральная функция положительная

Отсюда получаем следующее правило принятия решения:

если , то Х=х₁

(2.27)

если , то Х=х₀

Рассматриваемый критерий наиболее целесообразен экономически, так как обеспечивает минимизацию потерь, обусловленных ошибками в принятии решений. Но он требует максимальной априорной информации, ибо помимо функций распределения и априорных вероятностей р(Х), необходимо также знание весовых коэффициентов и .

Минимаксный критерий. Минимаксный критерий представляет собой специальный случай критерия минимального риска, когда априорные вероятности и не заданы.

Дело в том, что риск , получающий наименьшее значение при условии (2.27), зависит от априорных вероятностей и . При определенном соотношении этих вероятностей, который мы назовем наихудшим, риск будет максимален.

Идея минимаксного критерия заключается в том, что обеспечивается минимум риска при наихудшем соотношении априорных вероятностей.

Для определения наихудшего соотношения между и необходимо приравнять нулю производную от правой части (2.26) по (или по р(х₀)).

В результате получается трансцендентное уравнение, обеспечивающее максимум риска. Затем определяется пороговое значение отношения правдоподобия

(2.28)

Таким образом, правило принятия решения для всех рассмотренных критериев одинаково и сводится к сравнению отношения правдоподобия , с пороговым значением . Отличие заключается лишь в величине .

Так как величина определяет границу между областями V₁ и V₀ пространства V, то каждый критерий определяет способ разбивки пространства принятого сигнала области V₁ и V₀ .

Равенство определяет уравнение поверхности раздела поверхностей V₁ и V₀ .

Лекция 6. Различение сигналов

При различении сигналов имеет место миогоальтернативная ситуация, когда полезный сигнал X может иметь много значений и приемное устройство должно определить, какое именно значение из этого множества имеет место в действительности. Различение многих сигналов в принципиальном отношении мало отличается от случая обнаружения сигнала, т.е. случая различения двух сигналов. В соответствии с этим методы многоальтернативных решений являются обобщением соответствующих методов двухальтернативных решений.

Пусть сигнал X может иметь m возможных значений с априорными вероятностями соответственно

При этом пространство сигнала Y разбивается на m областей соответствующих принятию гипотез том, что Х = х₁, Х = х₂,...,Х = х_м соответственно. Правила принятия решений и разбивка пространства V на области могут производиться в соответствии с любым из критериев, рассмотренных для случая двухальтернативной ситуации и обобщенных на случай многоальтернативной ситуации.

Процедура работы решающего устройства приемника при различении сигналов следующая. По данным выборки Y определяются функции правдоподобия и вычисляются отношения правдоподобия для всех возможных сочетании пар и . Сравниваются полученные значения отношений правдоподобия с пороговым значением и выбирается такое значение сигнала для которого все .

Рассмотрим в качестве, примера случай, когда используется критерий минимального риска.

В случае многоальтернативной ситуации ошибки принятия решения заключается в том, что наблюдаемая выборка оказывается в области V_к, в то время как в действительности сигнал X имеет значение . Цена ошибочных решений учитывается путем введения весовых коэффициентов .

Для заданного значения сигнала , средняя величина потерь за счет неправильных решений может быть оценена коэффициентом

(2.29)

Величины носят название условного риска.

Усредняя условный риск по всем возможным значениям X, получим средний риск

(2.30)

Критерий минимального риска для случая многоальтернативной ситуации сводится к минимизации функции (2.30).

Условие (2.31) определяет правила принятия решения, а также способ разбиения пространства принятого сигнала на области .

Рассуждая аналогично как при выборе соотношения (2.27), можно показать, что реализация условия (2.31) даст следующую систему m неравенств, обеспечивающих принятие гипотезы Н_k, что X = х_к

(2.31)

Как уже установлено, оптимальное решающее устройство должно строиться таким образом, чтобы оно могло вычислить функции правдоподобия L(X) и отношение правдоподобия с последующим сравнением его с некоторым пороговым значением . Следовательно, в первую очередь решающее устройство должно вычислять условные плотности вероятности . Очевидно, схема решающего устройства определяется в основном видом этой функции.

Рассмотрим общий случай многоальтернативной ситуации, когда полезный сигнал X может принимать m значений. Будем полагать помеху , нормальной с нулевым математическим ожиданием и аддитивной. Следовательно, принимаемый сигнал у

Для любого отсчетного значения принятого сигнала у_i; можно записать

(2.32)

При взаимной независимости полезного сигнала и помехи функции определяется законом распределения помехи

Для принятия оптимального решения необходимо определить отношения правдоподобия

(2.33)

Перейдем к случаю непрерывного приема сигналов в течение определенного времени Т. Будем при этом полагать, что помеха типа белого шума.

Переход к непрерывному наблюдению можно осуществить с использованием теоремы Котельникова. Полагая, что отсчеты осуществляются через интервал времени , где – граничная частота полосы пропускания канала связи, умножаем числитель и знаменатель показателя степени е в выражении (2.33) на и переходим в числителе показателя степени от суммирования отсчетов к интегрированию в пределах от 0 до Т, где .

(2.34)

где и - энергии сигналов и . Полагая энергии сигналов и - одинаковыми, (2.34) приводим к виду

Выбирается в качестве истинного такой сигнал х_к для которого

(2.35)

Условие (2.35) можно переписать в виде:

(2.36)

В соответствии с (2.36) структура решающего устройства должна иметь, вид, как показано на рис. 2.2.

Рис.2.2 Структура решающего устраойства

Устройство содержит набор генераторов сигналов множительных звеньев МЗ, интеграторов И и схему сравнения СС.

На выходе МЗ получается произведение функций y(t)х_i(t), которое затем интегрируется интегратором И. Схема сравнения СС определяет разность между различными сочетаниями выходных сигналов интеграторов, сравнивает полученные результаты со стандартным сигналом и выносит решение в пользу той функции х_к, для которой выполняется условие (2.36)

Величина стандартного сигнала определяется критерием, положенным в основу синтеза решающего устройства. В частности, если в качестве такового используется критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова), то

(2.37)

Решающее устройство, реализуемое па базе критерия идеального наблюдателя, обеспечивает минимальную вероятность ошибки принятия решения. Такие устройства принято называть идеальными приемниками.

Лекция 7. Восстановление сигналов

Восстановление сигналов сводится к оценке некоторого числа неизвестных параметров полезного сигнала. Ограничимся рассмотрением случая оценки одного из параметров сигнала, например амплитуды В, при заданной форме сигнала. При этом помехи будем полагать аддитивными типа белого гауссова шума. Представим полезный сигнал в виде

где f (t) - известная функция времени; В - параметр сигнала.

Задача состоит в том, чтобы по принятой выборке Y определить, каково значение параметра В в полезном сигнале X.

В отличие от случаев обнаружения и различия сигналов здесь имеет место бесконечное множество возможных значений параметра В и, соответственно, бесконечное множество гипотез. Методы, рассматриваемые в случае двухальтернативных и многоальтернативных ситуаций, применимы и для задачи восстановления сигнала.

Произведем оценку параметра В методом максимума правдоподобия. Если отсчет принятого сигнала производится в дискретные моменты времени, то функция правдоподобия для параметра В будет равна

(2.38)

Задача состоит в том, чтобы найти такое значение параметра В для которого функция правдоподобия максимальна. Максимуму функции правдоподобия соответствует минимальное значение показателя степени в выражении (2.38)

Из условия минимума

Имеем

откуда получаем оценочное значение параметра

(2.39)

Осуществив переход к непрерывному примеру, получим

(2.40)

На рис. 2.3 приведена схема решающего устройства, осуществляющего операцию оценки параметра сигнала. Устройство содержит генератор сигнала f(t), множительное звено МЗ, осуществляющее умножение y(t) на f(t), и интегратор, производящий интегрирование произведения y(t)f(t).

Для оценки точности восстановления сигнала используем критерий среднеквадратического отклонения. С этой целью в (2.40) принимаемый сигнал выразим в виде суммы y(t) = Bf (t) + (t). Тогда 2.40

Рис 2.3 Устройство оценки неизвестного параметра

Погрешность восстановления

Дисперсия погрешности

Среднее от произведения представляет корреляционную функцию помехи

где G_o - спектральная плотность помехи; - дельта-функция;

Тогда

Следовательно, среднеквадратическое значение погрешности восстановления

(2.41)

Задача восстановления сигнала может быть также решена методом оптимальной фильтрации. В общем виде формулировка следующая. Пусть колебание , принятое на некотором интервале времени, является функцией от сигнала и шума :

(2.42)

Сигнал может зависеть не от одного, а от нескольких параметров , причем либо сам сигнал , либо его параметр являются случайными процессами. Вид функции , т.е. способ комбинирования сигнала и шума, и их некоторые статистические характеристики полагаются априорно известными. Исходя из них, необходимо определить структуру устройства (рис. 1), решающего оптимальным образом, какая реализация самого сигнала или его параметра содержится принятом колебании.

Рис. 2.4 Решающее устройство

Из-за наличия шума и случайного характера сигнала оценка реализаций сигнала или его параметра не будет совпадать с истинной реализацией, т.е. будут иметь место ошибки фильтрации. Для количественной оценки качества фильтрации чаще используются критерии минимума среднеквадратической погрешности, критерий максимального отношения сигнал/шум и критерий максимума апостеорной вероятности. Рассмотрим задачу линейной фильтрации, также будем предполагать, что сигнал и шум взаимодействуют аддитивно, т.е.

Остановимся в начале на критерии минимума среднеквадратической ошибки. Считаем, что сигнал и шум представляют собой стационарные нормальные, случайные процессы с известными корреляционными функциями

Необходимо определить систему, которая из принимаемой смеси

С минимальной среднеквадратической ошибкой выделяет полезный сигнал . Т.е. искомая оптимальная система должна минимизировать величину

(2.43)

Необходимо определить структуру фильтра (рис. 2)

При оценка на выходе системы должна предсказывать (прогнозировать) значение входного сигнала на вперед, при задача сводится к выделению (сглаживанию) сигнала из колебания .

Строгое решение данной задачи было получено А. Н. Колмогоровым и Н. Винером.

Они показали, что оптимальное устройство относится к классу линейных фильтров с постоянными параметрами. Проиллюстрируем их результаты. Предположим, что на вход физически реализуемой линейной системы (рис. 2) с импульсной характеристикой

(2.44)

Воздействует стационарный случайный процесс . При этом стационарный случайный процесс на ее выходе будет определяться соотношением

(2.45)

Подставляя (2.45) в (2.43) получим следующее выражение для среднеквадратичной ошибки фильтрации:

Которая после несложных преобразований приводится к виду:

(2.46)

Здесь - взаимная корреляционная функция процессов и

а - автокорреляционная функция случайного процесса

Чтобы определить импульсную характеристику оптимального фильтра, минимизирующего среднеквадратическую ошибку, пользуются следующим приемом вариационного исчисления. Пусть:

где - параметр, не зависящий от , а - произвольная функция. При этом условие минимума среднеквадратичной ошибки принимает вид

(9)

После подстановки (8) в (5) условие (9) принимает вид:

Последе соотношение должно выполняться при произвольной функции , отсюда следует, что импульсная характеристика должна удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма первого рода

(10)

Это уравнение является основным уравнением теории линейной фильтрации и называется уравнением Винера-Хопфа.

Таким образом, задача нахождения оптимального сглаживающего или прогнозирующего физически реализуемого фильтра сводится к решению интегрального уравнения (10). Это решение имеет определение сложности, обусловленные в основном требованием физической реализуемости оптимального фильтра. В частном, но важном с практической точки зрения случае дробно-рациональной спектральной плотности входного процесса из (10) можно получить следующее выражение для передаточной функции :

(11)

здесь

(12)

При этом минимальная среднеквадратичная ошибка фильтрации равна

(13)

где, (14)

Для частного случая сглаживания аддитивной смеси взаимно независимых стационарного случайного процесса и белого шума с функцией корреляции

Формула (11) упрощается:

Где индекс + означает, что если выражение в квадратных скобках разложить на простые дроби, то в разложении должны быть оставлены только те из них, которые соответствуют полюсам, расположенным в верхней полуплоскости. Все простые дроби функции , соответствующие полюсам в нижней полуплоскости, а так же целая часть должны быть отброшены. Минимальная среднеквадратичная ошибка для рассматриваемого случая может быть вычислена по формуле

Все равно практическим вычислениям по вышеуказанным формулам оказываются громоздкими. Значительное упрощение получается, если не накладывать на оптимальный фильтр требования физической реализуемости (3), т.е. полагать в (4) и в последующих формулах нижний придел равным . При этом вместо уравнения (10) получаем интегральное уравнение:

(15)

решение которого приводит к следующему выражению для передаточной функции физически нереализуемого фильтра:

(16)

Минимальная среднеквадратическая ошибка в этом случае вычисляется по формуле (13). Для частного случая статистически независимых сигнала и шума , имеющих нулевые средние значения, формула (16) приводится к виду:

Хотя последние соотношения соответствуют физически нереализуемым оптимальным фильтрам, они полезны, так как любой физически реализуемый фильтр не может дать меньшей среднеквадратической ошибки, чем фильтры, определенные выражением (16). Это объясняется тем, что наложение на фильтр условия физической реализуемости (3) сужает возможности выбора оптимальной характеристики фильтра и по этой причине привести лишь к ухудшению конечного результата.

В заключении отметим, что выражение для среднеквадратичной ошибки воспроизведения будет иметь вид

Из которого следует, что идеальная фильтрация возможна только в случае, когда , т.е. когда спектры сигнала и помехи не перекрываются.

Остановимся кратко на случае, когда оптимальная линейная фильтрация осуществляется по критерию максимума отношения сигнал/шум. Пусть на вход линейного фильтра с передаточной функцией поступает аддитивная смесь

(17)

где - стационарный случайный процесс со спектральной плотностью ;

- статистически независимый с полезный сигнал, форма которого, т.е. спектр , заранее известна. При этих условиях процесс на выходе фильтра равен

(18)

где: и - результаты преобразования сигнала и помехи линейным фильтром. Причем:

(19)

А дисперсия выходного шума вычисляется по формуле

(20)

Введем в рассмотрение отношение

(21)

Представляющих собой отношение мгновенного значения сигнала на выходе фильтра в некоторый момент времени к среднеквадратичному значению выходного шума. В соответствии с (19) и (20) это отношение равно

(22)

Линейный фильтр, максимизирующий отношение (22), называется фильтром, оптимальным по критерию максимума отношения сигнал/шум. Можно показать, что передаточная функция такого фильтра равна

(23)

где: С – постоянная; - функция, комплексно-сопряженная со спектром входного сигнала . Если входящий в (17) случайный процесс представляет собой стационарный нормальный белый шум с энергетическим спектром , то формула (23) приводится к виду:

(24)

Таким образом, в случае приема аддитивной смеси сигнала и белого шума передаточная функция фильтра, оптимального по критерию максимального отношения сигнал/шум полностью определяется спектром входного сигнала в соответствии с этим оптимальные фильтры с передаточными функциями (24) называют согласованными.

Определим импульсную характеристику согласованного фильтра:

(25)

После подстановки (24) в (25) получим

(26)

где: К – постоянная величина, имеющая смысл коэффициента усиления.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение функции правдоподобия и отношению правдоподобия.

2. Как осуществляется выбор критерия обнаружения в данной конкретной постановке?

3. В чем сходство и различие всех критериев обнаружения?

4. В чем различие задачи обнаружение сигналов от задачи обнаружения?

5. Как осуществляется корреляционный прием сигналов?

6. Дайте физическую трактовку критерия минимума среднеквадратической ошибки.

7. Назовите случай идеальной фильтрации.

8. Почему полезно изучение физически нереализуемых фильтров?