§2. Операции над множествами.

2.1. Пересечение множеств

Пусть имеются два множества А и В. Множество всех элементов х, принадлежащих одновременно А и В, составляет новое множество F, которое называется пересечением А и В и записывается

F = AB = {х | xA и xB } ( рис.1.1 ).

Знак – символ пересечения.

–F = AB – C = A  B

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Операция пересечения обладает следующими свойствами:

1. A B = BA – операция коммутативна;

2. (AB) С = А(ВС) – ассоциативна;

3. AА = А, A =;

4. Если А  В, то AB = А.

Если множества не имеют общих элементов, т.е. они не пересекаются, то AB =.

2.2. Объединение множеств

Пусть имеются два множества А и В. Множество С, состоящее из элементов принадлежащих А или В, т.е. принадлежащих или А или В, или А и В одновременно, называется объединением А и В и обозначается

С = A  B = {x | xA, или xB, или xА и xB} (рис.1.2).

Знак  – символ объединения.

Основные свойства операции объединения состоят в следующем:

1. A  B = B  A – операция коммутативна;

2. (A  B)  С = А  (В  С) – ассоциативна;

3. A  А = А, A   =А;

4. Если А  В, то A  B = В.

2.3. Разность множеств

Пусть имеются два множества А и В. Множество D состоящее из элементов х множества А и не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается:

D = А\В ={х | хА и хВ} (рис.1.3).

–D = А\В – Е = В\А – GА = В\А

В

Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5

Основные свойства:

1. А\В  В\А – операция не коммутативна (рис.1.3 и рис.1.4);

2. 2. (А\В)\С  А\(В\С) – не ассоциативна;

3. Если А  В, то А\В = , а В\А составляет множество, называемое дополнением множества А относительно В и обозначаемое =В\А = х  хВ и хА, А  В (рис.1.5).

Имеем: .

2.4 Произведение множеств

Пусть имеются два множества А и В и пусть аА, bВ. Рассмотрим упорядоченную пару (а,b), причем пары (а,b) и (b,а) считаются различными, даже если А=В. Совокупность всевозможных упорядоченных пар (а,b) составляет новое множество, называемое произведением А на В и обозначается АВ. Элементы а и b называются компонентами, или координатами пары (а,b).

В качестве примера на рис.1.6 рассмотрено произведение двух точечных множествА и В геометрического пространства.

–А – 

Рис. 1.6

Из рис.1.6 видно, что АВ  ВА и, следовательно, произведение множеств не коммутативно.

Когда множество В тождественно множеству А (В = А), то АА представляет собой множество упорядоченных пар (а,а), где а и а принадлежат одному и тому же множеству А (аА и аА). Такое множество называется декартовым квадратом. Но и в этом случае (а,а)  (а,а). Проиллюстрируем это на примере точечных множеств (рис.1.7).

Множество точек заштрихованной части плоскости составляет множество АА – декартовый квадрат.

– А  A

Рис. 1.7

Вообще пусть имеется совокупность множеств А₁, А₂, А₃, . . ., А_n, не обязательно различных, будем называть произведением и обозначать через

А₁ А₂ А₃  . . . А_n

множество упорядоченных систем (а₁, а₂, а₃, . . ., а_n), где i-й элемент принадлежит множеству А_i. Символ  означает знак произведения:

Индекс i называется операторным индексом. Он может быть заменен любой другой буквой

Определение. Элемент произведения бесконечного числа множеств, равных множеству R действительных чисел называется числовой последовательностью.

( ₁, ₂, ₃, . . . , _n, . . . )  RRR . . . R. . . ..