Контроль составления нормальных уравнений

Составление нормальных уравнений надо контролировать. В каждом условном уравнении образуем сумму s_k коэффициентов при всех неизвестных и свободного члена; s_k есть сумма элементов k–й строки расширенной матрицы коэффициентов.

Далее вычисляем сумму произведений по столбцам системы условных уравнений и подставляем значение s_k

или в обозначениях Гаусса

,

а это сумма коэффициентов и свободного члена 1-го нормального уравнения!

Итак

Для проверки составления нормальных уравнений следует проделать следующее:

1. просуммировать коэффициенты и свободный член каждого условного уравнения (найти s_k)

2. найти сумму произведений коэффициентов 1-го столбца на суммы s_k

3. найти суммы коэффициентов и свободного члена 1-го нормального уравнения

4. суммы, найденные в п.2 и п.3 должны совпадать.

Аналогично поступаем для проверки составления 2-го, 3-го и т.д. нормальных уравнений.

s₁ m>n

s₂

s₃

… … … … … …

s_m

контроль k-й строки

При умножениях и сложениях надо сохранять все знаки, какие формально получаются при действиях с приближенными числами. Тогда контрольные равенства должны удовлетворяться точно.

Пример Проведем контроль составления нормальных уравнений предыдущего примера.

условные уравнения s

1255 34

нормальные уравнения (суммы коэфф и св члена)

Метод наименьших квадратов в описанном виде применяется только к линейным уравнениям. Одной из задач этого метода является приведение уравнений к линейному виду относительно неизвестных.

Пусть из наблюдений получена совокупность значений x_i и y_i и известно, что значения связаны функцией . Найти наилучшиеA и B.

, где

Методом наименьших квадратов решается система

… … … …

относительно . Окончательно.

Пусть из наблюдений получена совокупность значений x_i и y_i и известно, что значения y_i удовлетворяют нормальному закону распределения вероятности Гаусса. Найти коэффициенты в формуле распределения Гаусса

.

введем обозначения

тогда получим систему условных уравнений:

, решая которую методом наименьших квадратов получим , из которых найдем параметры нормального распределения.

Пример Из наблюдений получено

xi	1.00	1.20	1.40	1.60	1.80	2.00	2.20	2.40	2.60	2.80	3.00
yi	0.120	0.412	0.977	1.812	2.637	3.008	2.635	1.816	0.985	0.417	0.121

Вычисляем ,

xi	1.00	1.20	1.40	1.60	1.80	2.00
xi2	1.00	1.44	1.96	2.56	3.24	4.00
zi	2.1203	0.8867	0.0233	-0.5944	-0.9696	-1.1013
xi		2.20	2.40	2.60	2.80	3.00
xi2		4.84	5.76	6.76	7.84	9.00
zi		-0.9689	-0.5966	0.0151	0.8747	2.1120

Составляем условные уравнения ():

Нормальные уравнения

Их решение:

отсюда ,,.

Итак .

Если случайные ошибки измерений удовлетворяют нормальному закону распределения, то применение принципа Лежандра даетнаиболее вероятные значения неизвестных.

Если вычислена сумма квадратов невязок , то средняя погрешность одного условного уравнения :

, (m – число уравнений, n – число неизвестных) [6]

вычисляют еще и для того, чтобы найти грубо ошибочные условные уравнения (если они есть). Если какое-либо , то вероятно в соответствующем условном уравнении есть грубая ошибка, такие уравнения отбрасывают. После это заново составляют нормальные уравнения и повторяют решение.

содержание