Типовые задачи c решениями
.pdfЗадачи по теории функций комплексного переменного Часть 2
На дневном, на вечернем и на заочном отделениях факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета читается годовой курс по Теории функций комплексного переменого (ТФКП). Программа этого курса приведена на сайте факультета http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/starkov/. Там же помещена первая часть курса.
При составлении методических указаний использовались различные источники, список которых приведен.
В каждом пункте даются краткие сведения теоретического характера с целью сделать читателя менее зависимым от наличия или отсутствия у него соответствующей литературы. Для некоторых задач решение доведено до конца, для других даются указания к решению, для всех задач приведены ответы.
Содержание
1.Интегрирование функций комплексного переменного
1.1.Вычисление интегралов по формуле Ньютона-Лейбница
1.2.Интеграл по контуру
1.3.Интегральная формула Коши
2.Ряды
2.1.Степенные ряды и ряд Тейлора
2.2.Ряд Лорана
3.Изолированные особые точки и вычеты функций
3.1.Классификация особых точек
3.2.Вычеты функций
4.Применение вычетов к вычислению интегралов
4.1.Вычисление интегралов на основе теоремы Коши
4.2.Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов
4.3.Несобственные интегралы от действительной переменной
5.Тестирование по пройденному материалу
6.Литература
1.Интегрирование функций комплексного переменного
1.1.Вычисление интегралов по формуле Ньютона-Лейбница
Функция F(z) называется первообразной функцией для f (z) , если F′(z) = f (z) . Если функция f (z) является аналитической в односвязной области D, то интеграл от f (z) по любому пути, соединяющему точки z1 и z2 этой области и лежащему в ней, равен разности значений первообразной в точках z2 и z1 , т.е. вычисляется по известной формуле Ньютона-Лейбница. Интегралы от элементарных функций
комплексного переменного вычисляются с помощью тех же формул, что и для функций вещественной переменной.
i |
1+πi |
1+i |
1. Вычислить интегралы: а) ò z cos zdz , б) |
ò ze−z dz , |
в) ò z2dz . |
0 |
0 |
0 |
Ответ: а) |
1 |
−1, б) |
1 |
(2 + πi) , |
в) |
2 |
(−1+ i) . |
|
e |
e |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
i |
1+i |
|
|
|
|
π +i |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Вычислить интегралы: а) ò zez dz , |
б) ò |
, |
в) |
òsin zdz . |
|
|
|
|
|
|||||
z |
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: а) (1− cos1− sin1) + i(cos1− sin1) , |
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
i |
æ |
1 |
ö |
||
б) |
|
ln 2 + |
|
i , в) 1 |
+ |
|
çe - |
|
÷ . |
|||||
2 |
4 |
2 |
e |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
1.2.Интеграл по контуру
Если f (z) = u(x, y) + iv(x, y) , то интеграл по дуге АВ, |
лежащей |
в плоскости z , |
вычисляется |
по |
||||
формуле |
ò f (z)dz = òudx - vdy + i òvdx + udy , т. |
е. |
представляется как сумма криволинейных |
|||||
|
AB |
AB |
AB |
|
|
|
|
|
интегралов от вещественной переменной. |
|
|
|
|
|
|||
При параметрическом задании дуги АВ: z(t) = x(t) + iy(t) , t1 < t < t2 |
имеем |
|
|
|||||
|
t2 |
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это удобно для случая, |
когда дуга |
является частью |
окружности, |
а |
||
ò f (z)dz =ò f (z(t))z (t)dt . |
||||||||
AB |
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
параметром служит полярный угол.
Если функция f (z) аналитична в некоторой односвязной области D, то интеграл по любому контуру в
этой области не зависит от пути интегрирования, а вдоль замкнутого контура равен нулю (теорема Коши для односвязной области).
Если функция f (z) есть аналитическая функция в замкнутой многосвязной области, то интеграл по
внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (теорема Коши для многосвязной области). Везде интегрирование как по внешнему, так и по внутренним контурам совершается в положительном направлении, т.е. так, что область остается все время слева.
3. |
Вычислить òIm zdz , где С — прямолинейный отрезок, соединяющий точку 0 с точкой 2 + i. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
1 + 0, 5i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Вычислить ò |
dz |
|
, где С — окружность |
|
z |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: 2pi . |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
Вычислить ò |
|
|
, где С — верхняя половина окружности |
|
z |
|
=1, направление обхода: от точки (1,0) |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
до точки (—1,0) ( |
|
взять из общей формулы при k = 0). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
2(i – 1). |
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
Вычислить ò |
, где С — граница области 1< |
|
z |
|
< 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1, 0 £ arg z £ p . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
7. |
Вычислить ò z3dz , где С — четверть окружности |
|
|
|
z |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Вычислить òi |
|
z |
|
dz вдоль полуокружности |
|
z |
|
=1, |
|
Re z ³ 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 2i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
Вычислить интегралы вдоль кривой С — части окружности |
|
z |
|
= 2 , лежащей в полуплоскости |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Im z £ 0 и пробегаемой от точки z1 = -2 до точки z2 = 2 в случаях:
а) ò |
|
z |
|
dz |
б) ò z |
|
z |
|
dz в) ò(2x − 3iy)dz |
|
|
|
|
|
|||||||
С |
С |
|
|
|
|
С |
||||
Ответ: а) 4πi , |
б) 0; в) 10πi . |
10.Вычислить интегралы вдоль С — отрезка прямой с началом в z1 =1 и концом в z2 = i от
следующих функций: а) z , |
|
б) |
Im z , в) |
|
z |
|
−1 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1−i |
ln(3 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: а) i, |
б) 0,5(–1 + i); |
|
в) |
2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Вычислить интегралы по замкнутому контуру: а) |
ò zzdz , б) |
ò z Im(z2 )dz , в) |
òRe zdz . |
|||||||||||||||||||
|
б) −16π , в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
=1 |
я |
=2 |
я−1 |
=1 |
|||
Ответ: а) 0; |
πi . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12. Вычислить интеграл òi |
dz |
, вдоль дуги параболы y2 |
|
= x +1. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
−i |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: − πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
Вычислить ò( y + xi)dz , где С — ломаная ОАВ с вершинами в точках zO = 0 , zA = i , zB =1+ i . |
||||||
|
|
С |
|
|
|
|
|
Ответ: |
0,5 + i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
14. |
Вычислить интеграл ò z10dz , где С — эллипс |
|
+ |
y |
=1. |
||
|
2 |
2 |
|||||
|
|
С |
a |
|
|
b |
|
Ответ: |
0. |
|
|
|
|
|
1.3Интегральная формула Коши
Пусть функция f (z) аналитична в замкнутой области D (односвязной или многосвязной) и Г — граница области D. Оказывается, что тогда значения функции f (z) в любой точке области D можно вычислить, зная только значения f (z) на границе области по интегральной формуле Коши:
f (z) = |
1 |
ò |
f (ξ)dξ |
. |
2πi |
ξ − z |
|||
|
|
Γ |
|
|
Заметим, что формула Коши остается в силе и для многосвязной области, но под интегралом подразумевается сумма интегралов по всем кривым, составляющим контур (обходимые области остаются слева).
Известно, что аналитическая в данной области функция f (z) имеет в этой области производную любого порядка. Производная определяется по формуле
f (n) (z) = 2nπ!i òΓ (ξ − z)n+1 .
С помощью этих формул можно вычислять некоторые криволинейные интегралы по замкнутым контурам для подынтегральной функции специального вида. Формулы следует записать в обратном
порядке
ò |
f (ξ)dξ |
= 2πif (z) , |
ò |
f (ξ)dξ |
|
= |
|
2πi |
f (n) (z) . |
||
ξ − z |
n+1 |
|
|||||||||
Γ |
|
Γ |
(ξ − z) |
|
|
|
n! |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1. Вычислить интеграл ò |
|
|
ez dz |
, где С — окружность с радиусом 3/2 и центром в точке 2. |
|||||||
|
z(z − 3) |
||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
Решение. В качестве числителя подынтегрального выражения в интегральной формуле Коши следует
взять функцию f (z) = |
ez |
, |
которая аналитична в круге, |
ограниченном С. Применяя интегральную |
||||||||
z |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2πe3i |
|
|||
формулу Коши, получим |
ò |
|
ez dz |
= ò |
f (z)dz |
= 2πif (3) = |
. |
|||||
|
z(z − 3) |
z − 3 |
3 |
|||||||||
|
|
C |
C |
|
|
|||||||
Пример 2. Вычислить ò |
|
ez dz |
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
C (z − i) |
|
|
|
|
|
|
|
где С — произвольный замкнутый контур, однократно обходящий точку i в положительном направлении.
Решение. |
Функция |
f (z) = ez |
аналитична в области, |
ограниченной контуром С и в силу формулы для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производной, находим |
ò |
|
ez dz |
|
= |
2πi |
f ′′(i) = −πsin1+ iπcos1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
(z − i) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. Вычислить интеграл |
|
ò |
|
2z3 +1 |
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z−2 |
|
=2 |
(z −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: 4πi . |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
16. Вычислить |
ò |
|
|
, если: а) точка 3i лежит внутри контура С, а точка –3i — вне его, б) точка –3i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
2 |
+ 9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лежит внутри контура С, а точка 3i — вне его. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ответ: а) |
π , |
б) − |
π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Применяя формулу Коши, |
вычислить интегралы: а) |
ò |
z |
3dz |
, |
б) ò |
zdz |
|
|
, |
где С— окружность с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z − |
1 |
z |
4 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
центром в точке 2 |
и радиусом 2. |
|
|
C |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: а) 2πi ; б) |
π i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Вычислить интегралы по окружностям: а) ò |
z2dz |
, б) |
|
|
ò |
|
sin z |
dz , |
в) |
|
|
ò |
|
zdz |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
z + i |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
2 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
|
|
z−1 |
|
=2 |
|
|
|
|
|
|
z+2 |
|
=2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: а) − 2πi , б) 0; |
в) πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Ряды
2.1Степенные ряды и ряд Тейлора
Различают числовые и функциональные ряды. Из всевозможных функциональных рядов большое распространение имеют степенные ряды:
∞ |
|
|
|
|
|
|
||
åcn zn = c0 + c1z + c2 z2 +...+ cn zn +... |
|
|
||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
cn |
|
||
Радиус сходимости К можно определить, пользуясь признаками Даламбера или Коши: R = lim |
|
, |
||||||
c |
||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
R = lim |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
n→∞ n |
c |
|
|
|
|
|||
|
|
n |
|
|
|
|
Ряд сходится при z < R , т.е. в круге радиусом R . Более общий вид степенного ряда — ряд Тейлора
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (z) = åcn (z − z0 )n , cn = |
|
|
|
f (n) (z0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Кругом сходимости этого ряда является круг |
|
z − z0 |
|
|
< R . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||||
Пример 1. Рассмотрим геометрическую прогрессию åzn = 1+ z + z2 + ...+ zn + ... |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
||||
Ее круг сходимости |
|
z |
|
< 1. Внутри этого круга прогрессия сходится абсолютно, а во всяком замкнутом |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
круге |
|
z |
|
≤ q < 1–равномерно. |
Как и в действительном анализе, |
сумма прогрессии внутри ее круга |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
сходимости равна функции |
|
|
|
1 |
. Эта функция и ее представление рядом очень полезно в задачах |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
− z |
|||||||||||||||||||||||||||||||
разложения в ряды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|
−1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
(z |
2 |
|
|||||||
Пример 2. Исследовать сходимость ряда å |
(z −1) |
|
|
|
= 1+ |
+ |
|
+ ... |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
n! |
|
|
1! |
|
|
|
|
|||||||
|
cn |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Его радиус сходимости равен R = lim |
|
|
= lim(n +1) = ∞ . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
cn+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, кругом сходимости данного ряда будет вся плоскость z.
Как и в действительном анализе, имеют место разложения при z0 = 0 следующих функций:
∞ |
z |
n |
|
|
z |
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2n+1 |
|
z |
3 |
|
z |
5 |
|
||||||
ez = å |
|
=1+ |
+ |
|
|
+ ...+ |
|
|
|
+...,sin z = å(−1)n |
|
|
|
|
= z − |
|
+ |
|
−...+ |
||||||||||||||||||||||||||||
n! |
|
|
|
|
|
n! |
|
(2n +1)! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=0 |
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
5! |
|
|||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
z |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
z |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos z = å(−1)n |
|
|
|
|
|
|
= 1− |
|
|
+ |
|
|
−...+ (−1)n |
|
|
|
|
+ ..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(1+ z)n |
=1+ nz + |
n(n −1) |
z2 + ...+ |
n(n −1)...(n − k +1) |
zk + ..., |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
z |
|
|
z |
2 |
|
|
|
z |
3 |
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ln(1+ z) = å(−1)n |
|
|
|
= |
− |
|
|
|
+ |
|
−...+ (−1)n |
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Радиус сходимости первых трех рядов R = ∞ , а последних двух R = 1.
∞
19. Определить радиус сходимости степенного ряда åсn zn , если: а) сn = nn , б)
n=1
в) cn = 2nn , г) cn = cos(in) .
z2n+1
(−1)n (2n +1)! + ...,
cn = n1! ,
Ответ: а) 0; б) ∞ , в) 2; г) |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
∞ |
z |
n |
|
∞ |
|
|
||
20. Найти круг сходимости рядов: а) 1+ å |
|
, |
б) ån!zn , |
|||||||||||
n! |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
||||
Ответ: а) R = ∞ , вся плоскость, |
б) R = 0 , точка z = 0 , |
в) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
n |
|||
21. Найти радиус сходимости степенного рядов: а) å |
n!z |
, |
||||||||||||
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
||
Ответ: а) R = e , б) R = |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
(z − i) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) å |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
n=1 |
|
n (1+ i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R = |
|
|
|
z − i |
|
< |
|
. |
|
||||||
2, |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
(1+ i) |
n |
|
|||||||
б) å |
|
|
|
|
(z − 2)n . |
||||||||||
|
(n +1)(n + 2) |
||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
∞ |
(z + i) |
n |
∞ |
22. Найти круг сходимости следующих степенных рядов: а) å |
|
, б) å[2 + (−1)n ]zn , |
|
1+ in |
|
||
n=0 |
|
n=0 |
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) å |
|
(z +1+ i) |
|
|
, |
|
|
|
г) |
å(sin(in))zn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n |
] |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n=0 [3+ 4×(-1) |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: |
а) |
|
z + i |
|
<1 |
, |
б) |
|
z |
|
<1, |
в) |
|
z +1+ i |
|
<1, |
г) |
|
z |
|
< |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
n |
|||||||
23. Определить область сходимости рядов: а) |
åez lnn |
, б) å |
sin nz |
, |
в) |
å |
(-1) |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
n=1 |
n |
|
|
n=0 z + n |
|||||||||
Ответ: |
а) Полуплоскость |
Re z < −1, б) |
действительная |
ось; |
в) |
вся |
плоскость, кроме точек |
z = 0,±1,±2,...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
æ |
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
∞ |
æ zn |
|
|
n |
2 ö |
|
|
|
|||||||||||
24. Найти область сходимости данных рядов: а) |
å |
ç z |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
÷ , |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
+ |
|
|
|
|
|
÷ |
, |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 |
z |
ø |
|
|
åç |
|
|
|
|
n ÷ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
è n! z |
|
ø |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ é z(z + n)ùn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) åê |
|
|
|
|
|
ú . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 1 ë |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
а) Кольцо |
1 |
< |
|
z |
|
<1, б) |
внешность единичного |
|
|
круга |
|
|
|
|
|
z |
|
>1, |
в) |
|
z |
|
<1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
25. Найти область сходимости данных рядов: а) å |
|
|
|
|
|
, б) |
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
, в) å |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2n |
|
|
|
1- z |
n |
1- z |
2n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
Ответ: |
а) |
|
z |
|
>1, б) |
|
|
z |
|
<1, в) вся |
плоскость, кроме |
|
окружности |
|
z |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. Разложить |
в ряд Тейлора |
по степеням z −i функцию |
|
f (z) = z5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
f (z) = i + 5(z - i) -10i(z -i)2 -10(z - i)3 + 5i(z -i)4 + (z - i)5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. Разложить функции в ряд Тейлора в окрестности точки z0 и указать область сходимости:
а) ln z , |
z0 =1, б) (1- z)ez , |
|
z0 = 0 , в) |
|
sin 2z − 2sin z , z0 = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
(z -1) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
nz |
n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||
Ответ: |
а) ln z = å(-1)n−1 |
|
, |
|
z -1 |
|
|
<1, б) 1- å |
|
|
, |
|
z |
|
< ¥ , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
(n + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
2 - 2 |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) å(-1)n+1 |
|
|
|
|
z2n+2 , |
|
z |
|
< ¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(2n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
28. Разложить функции в степенной ряд åсn zn и найти радиус сходимости: а) |
, b ¹ 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
az + b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
, в) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z2 - 4z +13 |
|
(z +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Ответ: а) å(-1)n |
a z |
, R = |
|
b |
|
, |
б) |
i |
å[(2 -3i)n - (2 + 3i)n ] |
z |
, R = |
13 |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
n+1 |
|
a |
|
n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∞ |
n=0 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 n=1 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) å(-1)n (n -1)zn , R =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
29. |
Разложить указанные функции в степенные ряды |
åсn zn , используя известные разложения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) òz |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
ln(z2 - 3z + 2) , |
|
|
|
б) ln |
1+ z |
, |
|
|
|
sin z |
dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- z |
|
0 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
z |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
z |
2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: |
а) ln 2 - å(1+ 2−n ) |
|
|
|
, R =1, |
б) |
2å |
|
|
|
|
|
|
, R =1, |
в) å(-1)n |
|
|
|
|
|
, R = ¥ . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2n +1 |
(2n +1)!(2n +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||
30. Разложить указанные функции в ряд по степеням z −1 и найти радиус сходимости: а) |
, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
, в) |
|
|
|
z2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z2 - 2z + 5 |
|
(z +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
(z -1)n |
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
(z -1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: |
а) |
|
|
+ 2å(-1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, R = 3, |
б) |
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
, R = 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
4 n=0 2n+ |
|
[1+(−1) |
+ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
n (n -3)(z -1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
|
|
+ å(-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, R = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
n+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
31. |
Функцию sin(2z - z2 ) разложить в ряд по степеням z −1, найти радиус сходимости ряда. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
æ |
|
|
|
np ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
å |
|
|
|
sinç1 |
+ |
|
|
|
|
|
÷(z - |
1) |
|
|
, R |
= ¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n! |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
|
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
32. Разложить в ряд Тейлора функцию f (z) = ln z |
в окрестности z0 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: |
ln 2 + å(-1)n−1 |
(z - 2) |
|
, R = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.2. |
Ряд Лорана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ряд, |
содержащий, |
кроме |
положительных степеней |
|
z - z0 , также и |
отрицательные |
степени |
|
z - z0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется рядом Лорана и имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
åan (z - z0 )n = ...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+...+ |
|
|
+ a0 + a1(z - z0 ) +...+ an (z - z0 )n +... |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(z |
- z0 ) |
n |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Областью |
|
|
сходимости |
|
|
ряда |
|
|
Лорана |
является |
круговое |
кольцо |
R1 < |
|
z - z0 |
|
< R2 (кольцо |
может |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выродиться в кольцо с выколотым центром: 0 < |
|
z - z0 |
|
< R2 или во внешность круга с выколотой точкой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = ∞ : |
R1 < |
|
z - z0 |
|
< ¥ , |
а также во всю плоскость с двумя выколотыми точками: |
0 < |
|
z - z0 |
|
< ¥ ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Часть ряда Лорана с коэффициентами a−n называется главной частью ряда Лорана, а с коэффициентами an — правильной частью.
Всякая аналитическая функция f (z) внутри кругового кольца R1 < z - z0 < R2 может быть разложена
внутри этого кольца в ряд Лорана и притом единственным образом. Коэффициенты ряда Лорана
вычисляются при помощи формулы
|
1 |
ò |
f (z) |
n = 0,±1,±2,..., |
|
an = |
|
|
dz, |
||
2pi |
(z -z )n+1 |
||||
|
|
C |
0 |
|
|
где С — любой замкнутый контур, расположенный внутри кольца и окружающий точку z0 .
Однако на практике для вычисления коэффициентов иногда удобнее использовать представление разлагаемой функции в виде суммы функций, каждую из которых можно непосредственно представить в
виде разложения по отрицательным или положительным степеням z - z0 .
Пример. Рассмотрим функцию f (z) = |
1 |
. Она имеет две особые точки |
z =1 и z = 2 и, |
(z -1)(z - 2) |
значит, в кольце 1< z < 2 является аналитической и разлагается в ряд Лорана. Найдем это разложение, представив функцию в виде суммы простейших дробей:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
- |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(z -1)(z - 2) |
z |
- 2 |
z -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Дробь |
|
1 |
|
|
|
|
является аналитической |
функцией |
|
в круге |
|
z |
|
< 2 и разлагается |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
- 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
степеням аналогично ряду геометрической прогрессии: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
æ |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ön |
|||||
|
|
1 |
ç |
|
1 |
|
÷ |
|
|
|
1 |
æ |
|
z |
|
z2 |
|
zn |
ö |
|
1 |
|
|
∞ æ z |
|||||||||||||||
- |
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
= - |
|
ç1+ |
|
|
+ |
|
|
|
+...+ |
|
|
+...÷ |
= - |
|
|
ç |
|
|
÷ . |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
z |
|
2 |
2 |
22 |
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
ån 0 è 2 |
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
ç1 |
- |
|
|
÷ |
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дробь - |
1 |
|
|
является аналитической вне круга |
|
z |
|
>1и разлагается по степеням |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z -1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по положительным
1z также как сумма
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
æ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
ö |
∞ 1 |
|||||||
геометрической прогрессии: - |
|
|
|
|
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
|
ç1+ |
|
+ |
|
|
|
|
+...+ |
|
|
+...÷ |
= -å |
|
|||||||||
|
|
- |
|
|
|
æ |
|
1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
n |
|||||||||||||||||||
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z è |
|
z z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
ø |
n=1 z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
zç1 |
- |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
∞ |
æ z |
ön |
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
∞ |
é zn |
|
|
|
1 ù |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Окончательно имеем f (z) = - |
|
åç |
|
÷ |
- |
å |
|
|
|
= - |
|
|
|
- å |
ê |
|
|
|
|
+ |
|
|
ú |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
2 |
|
2 |
n |
|
z |
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 n=0 |
è 2 |
ø |
|
n=1 |
z |
|
|
|
|
|
n=1 |
ë |
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
Для этой функции можно получить и другие разложения в других областях. Так, например, в области z <1она аналитична и разлагается в ряд Тейлора:
1 |
|
|
|
|
|
= - |
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
- |
|
1 |
× |
1 |
|
|
|
= |
|
||||
(z -1)(z - 2) |
|
z -1 |
|
z - 2 |
1- z |
2 |
|
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|||||
=1+ z + z |
2 |
+...+ z |
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
+... |
- |
|
ç1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
|
+...÷ |
= |
|||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
n |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||
∞ æ |
|
|
|
1 |
|
ö n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= åç1 |
- |
|
|
|
÷z |
, |
z |
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n=0 è |
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим ее в кольце 0 < z -1 <1 (окрестность точки z0 =1) по степеням z −1:
f (z) = - |
|
1 |
|
+ |
1 |
= - |
|
1 |
|
- |
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|||
|
z -1 |
z - 2 |
z |
-1 |
1 |
- (z -1) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= - |
|
- å(z -1)n |
= -å(z |
-1)n , 0 < |
|
z -1 |
|
<1. |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
z -1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
n=0 |
|
|
n=−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для одной и той же функции можно получить различные разложения. Это не противоречит единственности разложения, ибо полученные ряды имеют место в различных областях.
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
33. Разложить функцию |
f (z) = |
|
|
в ряд Лорана в кольце 0 < |
z -1 |
<1. |
||||||||
z(z -1) |
||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
f (z) = -åzn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n=−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z − 2 функцию f (z) = |
|
z4 |
|||
34. Разложить в ряд Лорана по степеням |
|
. |
||||||||||||
(z - 2)2 |
||||||||||||||
Ответ: |
f (z) = |
16 |
+ |
|
32 |
+ 24 + 8(z - 2) + (z - 2)2 . |
|
|
|
|
||||
(z - 2)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
z - 2 |
|
|
|
|
|
35. |
|
|
|
Разложить |
в ряд |
Лорана следующие функции в указанных |
областях: |
а) |
z |
при |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(z2 -1)(z2 - 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1< |
|
z |
|
< 2 , б) |
|
|
|
1 |
|
|
|
при 1 |
< |
|
z |
|
< 2 , |
в) |
|
1 |
при |
|
z |
|
> 2 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
(z2 -1)(z2 - 4)2 |
|
|
|
(z2 -1)(z2 - 4)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
∞ |
|
1 |
|
1 ∞ |
z2n+1 |
|
1 ∞ |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
3n + 7 |
|
|
|
|||||||||||
Ответ: а) |
|
å |
|
|
- |
|
å |
|
|
|
|
, б) |
|
|
|
åan z |
|
, |
an =1 при n < 0 , |
an |
= |
|
|
|
при n > 0 , |
|
||||||||||||
|
z |
2n+1 |
|
|
4 |
n |
|
|
|
|
4 |
n+2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 n=1 |
|
|
12 n=0 |
|
|
|
9 n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
1 |
å∞ [1+ (3n - 7)4n−2 ]z−2n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
9 n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Изолированные особые точки и вычеты функций
3.1.Классификация особых точек
Точки, в которых функция f (z) перестает быть аналитической, называются особыми. Если в
достаточно малой окрестности особой точки нет других особых точек, то данная особая точка на- зывается изолированной. Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка.
Изолированная особая точка z0 функции f (z) называется устранимой (или правильной), если существует конечный предел lim f (z) при z ® z0 (этот предел не совпадает с f (z0 ) ). Для того чтобы изолированная особая точка z0 функции f (z) была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение f (z) в окрестности z0 не содержало главной части, т.е. представляло бы ряд
Тейлора:
∞
åan (z - z0 )n = a0 + a1(z - z0 ) +...+ an (z - z0 )n +...
n=0
Данная функция совпадает с суммой ряда, если z ¹ z0 Функция будет аналитической и в точке z0 , если положить f (z0 ) = a0 , что обычно и делают.
Изолированная особая точка z0 функции f (z) называется полюсом, если lim f (z) = ¥ при z ® z0 . Для того чтобы изолированная особая точка z0 функции f (z) была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения f (z) в окрестности z0 содержала бы лишь конечное число членов:
|
|
|
|
|
a−m |
|
|
|
|
a−m+1 |
|
|
a−1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|||
f (z) = |
|
|
|
|
+ |
|
+...+ |
|
+ åan (z - z0 )n |
|
|
|
|
||||||||||
|
(z |
- z0 ) |
m |
(z |
m−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
- z0 ) |
|
z - z0 |
n=0 |
|
|
|
|
||||||||||
m > 0, |
a−m ¹ 0 , -т называется порядком полюса, при т = 1 полюс, называется простым. |
|
|||||||||||||||||||||
Если для |
f (z) точка |
z0 есть полюс порядка т, то для функции |
1 |
точка z0 есть нуль порядка т |
|||||||||||||||||||
f (z) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(точка z0 |
называется нулем порядка т, |
если разложение в степенной ряд аналитической функции w(z) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид |
w(z) = åak (z - z0 )k |
, a−m ¹ 0 , |
k ³1). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k =m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Изолированная особая точка z0 |
функции |
f (z) называется существенно особой, если lim f (z) |
при |
||||||||||||||||||||
z ® z0 |
|
не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
Например, z |
= |
0 для функции |
f (z) = e |
z |
является существенно |
особой, так как lim e |
z |
= 0 , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→0− |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim e |
z |
|
= ¥ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z→0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того чтобы изолированная особая точка z0 |
|
функции f (z) была существенно особой, необходимо и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции |
f (z) |
в окрестности z0 содержала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бы бесконечное число членов: |
f (z) = åan (z - z0 )n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z = ∞ . Точка |
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Теперь о точке |
|
z = ∞ называется бесконечно удаленной изолированной особой точкой, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если все другие особые точки находятся на конечном расстоянии от начала координат. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Точку |
z = ∞ будем называть устранимой особой точкой функции |
f (z) , |
если ее разложение в ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лорана имеет вид |
f (z) = åan z−n |
|
или существует предел |
lim f (z) = a0 |
|
при |
z → ∞ , т.е. функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничена в окрестности бесконечно удаленной точки. Пусть в разложении åan z−n будут равны нулю |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
||
a0 = a1 = ... = am−1 = 0 , но am ¹ 0 . В этом случае говорят, |
что точка |
z = ∞ является нулем кратности т |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции f (z) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Точка |
z = ∞ называется |
полюсом |
|
порядка m функции |
f (z) , если |
разложение |
в ряд Лорана в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окрестности этой |
точки |
имеет |
вид |
|
f (z) = åan z |
−n , |
|
где |
a−m ¹ 0 . |
Видно, |
что |
в этом случае |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f (z) = ∞ при z → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Бесконечно удаленная точка называется существенно особой точкой функции |
f (z) , если разложение в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ряд Лорана для нее имеет вид |
|
f (z) = åan zn , причем главная часть состоит из бесконечного числа |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
членов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
36. Определить характер точки 20 для следующих функций: а) sin z + 3sin 2 z, z0 |
= kp, k Î Z , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 p |
|
|
|
|
|
|
cos 2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) sin( z -1) cos |
|
2 z, z0 =1, |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
, z0 |
=1, г) |
|
|
|
, z0 = p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
sin 2 (z -1) |
|
|
z - p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
а) z = kπ— простые нули функции; |
|
б) z =1— нуль четвертого порядка; |
|
в) z =1— полюс |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
первого порядка; г) z = π — устранимая особая точка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
37. Определить порядки полюсов z0 |
|
для следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
z |
|
, z |
0 |
= kp, k Î Z , б) |
|
z2 -3z + 2 |
|
, z |
0 |
= 2, z |
0 |
=1 |
, в) |
cos pz +1 |
, z |
0 |
= -1, z |
0 |
= 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||
sin3 |
z |
|
(z2 - 4)2 (z -1)3 |
|
(z2 - z - 2)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: |
а) |
z = 0 — полюс второго порядка, z = kπ — полюсы 3 порядка (k = 0, ±1, ±2, . . .); б) z = 2 — |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полюс 1 порядка, z =1— полюс 2 порядка, в) z = −1— простой полюс, z = 2 –полюс 3 порядка. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
38. Найти особые точки функций и определить их тип (для полюсов указать порядок): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z + 2 |
|
|
|
, б) ctgz , |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
1 |
, д) cos |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
, |
г) |
|
|
z−2i |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z(z +1)(z -1)3 |
|
|
(z2 + i)3 |
|
z + i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
а) z =1— полюс 3 порядка z = 0 и |
|
|
z = −1— полюсы 1 |
порядка; |
б) |
z = kπ— простые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полюсы (k = 0,±1,±2,. . . ); |
в) |
± |
|
2 |
|
(i -1) —полюсы 3 порядка; г) z = 2i — существенно особая точка, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) z = −i — существенно особая точка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. Найти особые точки функции |
f (z) = |
z−1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ez |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: |
|
z =1–существенно особая точка, |
|
z = 2kπi |
(k= 0, ±1, ±2, |
. . .)—полюсы 1 |
порядка, z = ∞ – |
устранимая особая точка.