Типовые задачи c решениями

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

z2 + 2az +1

.pdf

Скачиваний:

158

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

334.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

sin

40. Найти особые точки функции

f (z) =

(z3 +1)(z -1)2

z = −1, z =

(1± i

Ответ:

3) — полюсы 1 порядка, z =1— полюс 2 порядка, z = 0 — существенно

особая точка.

sin z

41. Найти особые точки функции

f (z) =

(z - p)2

Ответ:

z = π — полюс 1 порядка, z = ∞ –существенно особая точка.

42.

Найти особые точки функции

f (z) =

ez -1

(z2 +1)(z2 -1)2

Ответ:

Простые полюсы в точках ±i, полюсы 2 порядка в точках ±1, z = ∞ –существенная особая точка.

æ sin z ö

z + 3z3

43.

Определить характер точки z = 0 для функций: а) expç

÷ , б)

, в)

ln(1- 2z)

sin z - z +

sin 2z

г) (e

-1- z)ctg

z , д)

, е)

expç

÷ .

cos z -1+

è z2

- z

Ответ:

а) правильная точка; б) правильная точка; в) полюс 5 порядка; г) простой полюс; д) полюс 3

порядка; е) существенно особая точка.

æ 1

eiz

expç

44. Найти особые точки функций и указать на характер: а)

, б)

, в)

è z +1ø

+1)3

sin z

г)

z2 (z2 +1)2

а) z = −1, z =

(1± i

Ответ:

3) — полюсы 1 порядка (простые полюсы), z = ∞ — нуль 3 порядка,

б) z = 0 — полюс 3 порядка, z = ∞ –существенно особая точка; в) z = −1— существенно особая точка, z = ∞ — нуль 3 порядка; г) z = 0 –простой полюс, ±2i — полюсы 2 порядка, z = ∞ –существенно особая

точка;
45. Найти особые точки функций и указать их характер: а)	z4	+1	, б)	z cos	1	- z , в) z3 sin	1	- z2 .
	z4	-1			z		z
Ответ: а) ±1,±i — простые полюсы, ∞ — правильная точка; б)				z = 0 — существенно особая точка,
z = ∞ — простой нуль; в) z = 0 — существенно особая точка, z = ∞ — правильная точка.

46. Для функции f (z) найти особые точки, выяснить их характер, и исследовать поведение функции в

окрестности бесконечно удаленной точки: а) f (z) =	1	, б)
	z - z3

f (z) =		z4	, в) f (z) =	z5	,
	1	+ z4		(1- z)3

г) f (z) =

1+ z2

, д) f (z) = e

−

f (z) =

sin z

, е)

4z + 3

Ответ:

а)

и ±1 — простые

полюсы,

z = ∞ –простой нуль (правильная точка); б)

(1± i) ,

(-1± i)

— простые полюсы, z = ∞ — правильная точка; в) 1 — полюс 3 порядка, ∞ — полюс 2

порядка;

г)

z = ∞ —

существенно

особая точка; д)

z = 0 –

существенно

особая точка, z = ∞ —

правильная точка; е) —0,75 — простой полюс, z = ∞ — существенно особая точка.

47. Найти полюсы функции f (z) =

(z2 -1)(z2 +1)2

Ответ: ±1 — полюс 1 порядка, ±i — полюсы 2 порядка.

48. Найти особые точки функций: а)

, б) sin

z2 +1

Ответ: а) z = ±i простые полюсы, б)

z = 0 — существенно особая точка.

49. Найти

особые точки

функций,

выяснить

их

характер и

исследовать

поведение функции на

бесконечности: а)

, б)

, в) ze− z

, г)

, д) e

, е) ez−

1−z

z(z2

+ 4)2

z2 +1

Ответ:

а)

z = 0 — полюс 1 порядка, z = ±2i — полюсы 2 порядка, z = ∞ –правильная точка (нуль 5

порядка); б) z = ±i — полюсы 1 порядка, z = ∞ — существенно особая точка; в) z = ∞ — существенно особая точка; г) z = 0 — существенно особая точка, z = ∞ — полюс 1 порядка; д) z =1–существенно особая точка, z = ∞ — правильная точка, е) z = 0 — существенно особая точка, z = ∞ — существенно особая точка.

50. Найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функций на

бесконечности: а)

cos z

, б) sin

, в) sin

, г) e−z cos

1- z

Ответ:

а) z = 0 –полюс 2 порядка, z = ∞ — существенно особая точка; б) z =1— существенно особая

точка,

z = ∞ — правильная точка (нуль 1 порядка),

в) z = 0 — существенно особая точка, z = ∞ —

правильная точка (нуль 1 порядка);

г) z = 0 — существенно особая точка, z = ∞ – существенно особая

точка.

3.2.Вычеты функций

Вычетом функции

f (z)

относительно особой точки

z0 называется коэффициент a−1 при

(z - z0 )−1 в разложении в ряд Лорана

f (z) в окрестности z0 . Коэффициент a−1 ¹ 0

только в том случае,

когда z0 — полюс или существенно особая точка. Обозначается вычет Resf (z0 )

или

Res f (z) .

функции f (z) ,

Вычет

соответствующий полюсу, можно вычислить проще, не пользуясь

разложением

функции

ряд

Лорана. В

случае

простого

полюса

z = z0 функции

f (z) вычет Resf (z0 ) = lim

f (z)(z - z0 ) .

z→z0

В частности, если

f (z) =

g(z)

причем g(z) и ϕ(z)

— аналитические функции в окрестности точки

j(z)

z0 и g(z0 ) ¹ 0 , а для ϕ(z) точка z0

есть нуль первого порядка (для f (z)

же точка

z0 есть полюс

первого порядка), то Res

g(z)

g(z0 )

j(z)

j¢(z0 )

Если же точка z0 для функции

f (z) является полюсом порядка т, то

Resf (z0 ) =

lim

d m−1

[f (z)(z - z0 )m ]

(m -1)! z→z0

dzm−1

51. Вычислить вычеты следующих функций относительно точек z0 :

а)

z3 +1

, z0

= 3, z0

= -2 ,

(z + 2)2 (z - 3)

cos z

, z

= 0 , в) tgz, z

= p

б)

г) e

, z

= -2 , д) sin

, z

=1.

z3 (z + 4)

z -1

Ответ: а) 28/25, —53/25, z = 3 — является полюсом 1 порядка, z = –2 — полюс 2 порядка; б) —7/64, z =

0 является полюсом 3 порядка;

в)

—1,

z = p

является простым полюсом; г) 1; д) 4, z = 1 является

существенно особой точкой.

52. Вычислить вычеты следующих функций относительно особых точек:

+ z -1

а)

, б)

, в)

г)

z3 cos

, д) ez+

z2 (z -1)

z2 (z2 + 9)

sin z

z - 2

Ответ:

а) 0 и 1, z = 0 является полюсом 2

порядка, а z = 1 — простым полюсом; б) 1/9,

(sin 3mi cos3) ,

æ p

öö

expç± iç

+ 3

÷÷ , z = 0 является полюсом 2 порядка, а z = ±3i — простыми

è 2

øø

полюсами;

в) (-1)k , k = ±1,±2,...; г)

–143/24,

z = 2 — является существенно особой точкой;

∞

д) 1+ å

, z = 0 — существенно особая точка.

1)!

n=1 n!(n +

53.

Найти вычеты функции

f (z) =

в ее конечных особых точках и в бесконечно удаленной

z(z -1)2

точке.

z = 0,

z = 1 — является полюсами 1 и 2 порядков,

Resf (0) = 1, Resf (1) = 0 , Resf (∞) = −1.

Ответ:

54.

Найти вычеты функции

f (z) =

в точках z

= -1, z

= ¥ .

1+ z

Ответ:

–1.

55. Найти вычеты следующих функций в указанных точках:

а)

, z

= 0 , б)

, z

= 0, z

= ±1, в)

, z

= ±i , г) ez ln

z - a

, z

= ¥ .

- cos z

- z5

(z2

+1)2

z -b

Ответ:

а) z = 0 – полюс 2 порядка, Resf (0) = 0 , б) Resf (0) = 1, Resf (±1) = -

в) m

, г) eα - eβ .

56. Найти вычеты указанных функций относительно всех изолированных особых точках и относительно

бесконечно удаленной точки:

а)

, б)

sin 2z

, в) ctg2 z ,

г) ctg3z , д) cos

z(1

- z2 )

(z +1)3

z - 2

е) sin z ×sin

, ж) sin

, з)

, и)

z +1

sin

Ответ: а) Resf (0) = 1, Resf (±1) = -

, б)

Resf (−1) = 2sin 2 , Resf (∞)

г) Resf (kπ) = −1,

Resf (2) = 0 ,

= 0, ±1, ±2,. ..;

k = 0,

±1,±2,..,; д)

Resf (∞) = 0 , ж)

Resf (−1) = − cos1,

Resf (∞) = − cos1,

æ 1

з) Resf ç

è kp ø

∞

(-1)

Resf (¥) =

= -

, и) Resf (k 2p2 ) = (-1)k 2k2p2 , k = 1,2, . . .

p k =1

= −2sin 2 ;		в)	Resf (kπ) = 0 , k
Resf (∞) = 0 ;			е) Resf (0) = 0 ,
= (-1)k+1		1	, k = 0, ±1,±2,…,
= (-1)k+1	k 2p2		, k = 0, ±1,±2,…,
	k 2p2

4.Применение вычетов к вычислению интегралов

4.1.Вычисление интегралов на основе теоремы Коши

Одним из важнейших применений теории вычетов является вычисление интегралов от однозначных функций по замкнутым кривым в предположении, что в некоторой области, содержащей контур интегрирования, не заключается других особых точек, кроме изолированных особых точек однозначного характера. При этом весьма полезной является теорема Коши: если функция f (z)

непрерывна в замкнутой области D и аналитична в области D всюду за исключением конечного числа изолированных особых точек z1, z2 ,..., zn , то интеграл от функции f (z) по контуру Г области D при

обходе контура в положительном направлении (область остается слева) равен произведению 2πi на сумму вычетов функции f (z) в этих особых точках:

ò f (z)dz = 2piåRes f (zk ) .

Γk=1

Это основная теорема о вычетах.

Еще одна теорема имеет применение при вычислении интегралов.

Теорема. Если f (z) имеет конечное число особых точек z1, z2 ,..., zn на плоскости z , то сумма всех ее вычетов, включая вычет в бесконечно удаленной точке, равна нулю:

åRes f (zk ) + Res f (¥) = 0.

k =1

Тогда, если контур Г охватывает все конечные особые точки, а вне его оказывается только одна

бесконечно удаленная точка, то

ò f (z)dz = -2piResf (¥) . Если же в контур Г попадает некоторое

большое количество m особых точек, а несколько оставшихся n-m

и бесконечно удаленная точка лежат

вне контура Г, то интеграл удобнее вычислять не по формуле

ò f (z)dz =åRes f (zk ) ,

а по

формуле ò f (z)dz = - åRes f (zk ) + Res f (¥) ,

где

вычислений

k=1

k =m+1

меньше.

57. Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы по замкнутому контуру:

а) ò

dz , б) ò

, в) ò

, где С — окружность

+ y

= 2x , г) ò sin

dz .

+ 4z

Ответ: а) 2πi ,

z = ±2i — полюсы 1 порядка. Они лежат внутри круга

б) Решение. Особые

точки z= 0

= 3. По

формуле

Resf (zk ) =

lim

d m−1

[f (z)(z - zk )m ]

находим

Resf (2i) = lim

= -

(m -1)! z→zk dzm−1

z→2i z(z + 2i)

Resf (-2i) = lim

= -

Resf (0) = lim

z(z - 2i)

z2 + 4

z→−2i

z→0

Интеграл равен сумме вычетов, умноженной на 2πi :

2piç

÷ = 0 .

Ответ: 0.

pi ,

в) -

= r . Разложим в ряд Лорана

г) Решение. z= 0 — существенно особая точка. Она лежит в круге

sin

-... Поэтому Resf (0) = 1и интеграл равен

2πi .

3!z3

5!z5

Ответ: 2πi .

58. Вычислить интегралы с помощью вычетов: а)

z2dz

, б)

zdz

+1)(z -

-i)(z -3)

Ответ: а) Решение. Полюсы i, -i, 2 лежат внутри круга. Вычислим вычеты:

Resf (i) = lim(z - i) f (z) =

Resf (-i) = -

, Resf (2) =

z→i

2i(2 -i)

2i(2 + i)

10 + 5i -10 + 5i

+ 40i

Тогда интеграл равен 2piç

= 2pi

2i(2 -i) 2i(2 + i) 5

2i(4 +1)5

Вычислим тот же интеграл с помощью вычета в бесконечно удаленной точке. Представим функцию в

виде

f (z) =

1 æ

öæ

ç1-

+...÷ç1

+...÷

+...

1 öæ

z è

øè

ç1

÷ç1

øè

Тогда Resf (∞) = −1 и интеграл равен 2πi .

Ответ: 2πi .

б)

3- i

59. Найти интеграл

, если: а)

C :

=1,

б)

C :

= 3 , в) C :

= 5 .

z(z + 2)(z +

Ответ: а)

pi , б) - pi

, в) 0.

60. Вычислить интеграл

z20dz

(2z

+1)

-1)

= 4

= 2 . Вычисление вычетов в этих точках

Решение. Все особые точки

1, 3 - 0,5

лежат в круге

∞

довольно

затруднительно,

поэтому

воспользуемся

формулой

I = 2piåRes f (zk ) = -2piRes f(¥) .

k =1

Представим функцию в виде

z20

12 æ

ç1+

÷ z

ç1

2z3 ø

z2 æ

ö2 æ

1 ö3

ç1

-...÷ ç1

+...

2z3

4z6

4 è

ø è

Тогда Resf (¥) =

и интеграл равен - 2πiResf (¥) = - pi .

Ответ: - pi .

61. Вычислить интегралы с помощью вычетов: а)

(z3 +1)dz

, б)

cos zdz

(z + 2)

(z -

(z + 4)

в) ò

z3 cos

dz ,

г)

òez+ z dz .

- 2

7pi

143pi

∞

Ответ:

а) − 2πi , б) -

, в) -

, г) 2piç1

÷ .

n!(n +1)!

n=1

62. Используя вычет в бесконечности, вычислить интегралы: а)

, б) ò

+ z3

dz ,

=1,1

sin z

z3e

в) ò

dz , г)

dz .

z(z +1)

+ 2)(z + 4)

+ 4)

Ответ:

а) 0;

б)

2πi , в)

sin

, г)

− 2πi .

63. Вычислить интеграл по замкнутому контуру при положительном направлении обхода:

dz .

+ 2

=1,5

Ответ: 2πi .

64. Вычислить интегралы: а)

zdz

, б)

dz , в)

ctgz

dz ,

(z - 2)

4z - p

z−2

-1)

z+1

г)

z−1−i

1 ö

а) − 2πi ,

( 3

-i).

Ответ:

б) -

pi ,

в) 2piç

÷ ,

г)

p ø

4.2.Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов

Некоторые определенные интегралы от функций действительного переменного удается преобразовать в интеграл по замкнутому контуру от функции комплексного переменного, что позволяет применить для вычисления этих интегралов основную теорему о вычетах. Причем часто удается достаточно просто получить ответ и в тех случаях, когда применение других методов анализа оказывается затруднительным.

Рассмотрим интеграл вида I =

2òπF(cosq,sin q)dq .

Подстановка z = eiθ ,

для

dq =

(eiθ + e−iθ )=

1 ö

(eiθ - e−iθ )=

- i æ

cosq =

ç z +

÷ ,

sin q =

ç z -

÷ , превратит действительный интеграл

z ø

2 è

в комплексный. При изменении θ от 0 до 2 π комплексная переменная пробегает замкнутый контур — окружность z =1 в положительном направлении. Окончательно интеграл имеет вид:

1 ö dz

I =

Fç z +

, z -

z ø

65. Вычислить интеграл

2òπ

, a >1.

a + cosq

Решение. Положим exp(ix) = z . При изменении х от 0 до 2 π переменная z пробегает окружность

=1 в положительном

направлении.

Выразим cos x =

(eix + e−ix )=

z2 +1

, dz = ieixdx = izdx ,

dx =

Тогда I = ò						dz		=
Тогда I = ò			æ	z	2	+1	ö	=
	z	=1 izç		z		+1	+ a÷


			ç		2z		÷
			è		2z		ø

Корни знаменателя

= -a +

a2 -1 , z

= -a -

a2 -1 — полюсы 1 порядка,

<1и

z лежат

внутри круга

=1:

Resf (z ) =

z - z2

2 a2 -1

z=z1

Интеграл равен

2pi

i 2

a2 -1

Ответ:

a2 -1

2π

66. Найти определенные интегралы, положив eiϕ = z :

а)

б) òtg(j + i)dj .

(5 + 4cosj)

а) Решение. Подстановка z = exp(iϕ) дает iϕ = ln z, j =

ln z , dj =

i z

Выразим cosj = 12 (eiϕ + e−iϕ )= z22+z 1 .

Теперь подынтегральная функция

zdz

(5 + 4cosj)2

2(z

ö2

(

ö2

zç

5 +

i 2z

4i(z + 2)2

ç z +

2 ø

Точка

z = -

—

полюс

порядка,

лежит

внутри круга

ö′

- z + 2

Resf (-

) =

lim

= lim

z→−

è (z + 2)

z→−

(z + 2)

zdz

10p

Окончательно

ö2

(z + 2)2

ç z +

10p

Ответ:

б) Решение. Здесь удобнее замена z = exp(2iϕ) . Когда ϕ изменяется от 0 до π z пробегает окружность z =1.

Выразим 2iϕ = ln z, dj =	1 dz		, тогда tg(j + i) =	ei(ϕ+i) - e−i(ϕ+i)		eiϕe−1 - e−iϕe
				i(ei(ϕ+i) + e−i(ϕ+i) )	=	i(eiϕe−1 + e−iϕe)	=
	2i	z

z - e2

. В нашем случае z = 0

z = -e

—

простые полюсы. В круге

i(z + e2 )

iç

z ø

лежит

z = 0 Resf (0) = -1.

Интеграл равен

z - e

= 2pi

(-1) = pi .

Ответ: πi .

z + e

67. Вычислить интегралы: а)

2òπ

cos2 2x

dx , б)

2òπ

cos2 2xdx

<1,

2π

cos3 3xdx

0 5 - 4cos x

0 1- 2 p cos x + p

в)

<1.

- 2 p cos2x + p

0 1

1+ p4

1- p + p2

Ответ: а)

17p

, б) p

в) p

1+ p2

1- p

68. Вычислить интегралы (n - целое, а - действительное число):

а)

2òπecos ϕ cos(nj -sin j)dj, б) òπ tg(x + ia)dx .

Ответ:.

а)

, если n > 0; 0, если n < 0,

б) ipsign(a) при а = 0 главное значение интеграла равно 0.

4.3.Несобственные интегралы от действительной переменной

Пусть требуется найти интеграл по отрезку [a,b] от вещественной функции f (x) . Отрезок [a,b] дополняется кривой С, которая вместе с ним ограничивает некоторую область D. Функция аналитически продолжается в область, построенную таким образом. К аналитическому продолжению f (z) применяется теорема о вычетах. Если интеграл по контуру С удается вычислить или выразить через интеграл по отрезку [a,b], то это позволит найти этот последний и тем самым решить задачу.

В частности, если отрезок интегрирования бесконечный, то рассматривают семейство расширяющихся контуров интегрирования, чтобы в результате предельного перехода получить искомый интеграл по бесконечному отрезку интегрирования.

Оценку интеграла по контуру С иногда можно производить при помощи лемм Жордана. Пусть подынтегральная функция f (z) является аналитической в верхней полуплоскости за исключением

некоторых точек z1, z2 ,..., zn , не находящихся на вещественной оси.

	Рассмотрим интеграл ò f (z)dz		по верхней полуокружности CR , опирающийся на отрезок
		СR
[- R, R] вещественной оси.
1)	Если	М(R) есть максимум модуля	f (z) на данной полуокружности и если R ×M (R) ® 0 при
R ® ¥ , то		ò f (z)dz ® 0 при R ® ¥ .
		СR
2)	Если M (R) ® 0 при R ® ¥ , то ò f (z)eimzdz ® 0при R ® ¥ (m>0). Для т< 0 в условиях леммы
		СR

нужно заменить верхнюю полуплоскость на нижнюю и соответственно верхнюю полуокружность на нижнюю. Леммы Жордана обычно используются при вычислении несобственных интегралов.

	∞	dx
Пример 1. Вычислим интеграл	−ò∞		= I
		x4 +1

Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю полуплоскость, а именно функция f (z) = z41+1 , удовлетворяет всем условиям, относящимся к вычислению интегралов с помощью вычетов, и 1-й лемме Жордана. Особыми точками функции в верхней полуплоскости являются точки

æ ip	ö
zk = expç	(2k +1)÷ (k = 0,1) , причем обе эти точки — полюсы 1-го порядка. Поэтому
zk = expç
è 4	ø
1
1		p 2
I = 2piåRes f (zk ) =		p 2	.
I = 2piåRes f (zk ) =			.
k =0	2		∞ cosax
			∞ cosax
Пример 2. Вычислить интеграл I = −ò∞					dx, a > 0, a > 0 .
Пример 2. Вычислить интеграл I = −ò∞				x2 + a2	dx, a > 0, a > 0 .

Чтобы иметь возможность воспользоваться 2-й леммой Жордана, заметим, что в силу формулы Эйлера

∞

eiαx

I = Re I1 = Re ò

dx .

x2 + a2

−∞

eiαz

I1 - функция

Аналитическое продолжение подынтегральной функции интеграла

имеет в

z2 + a2

верхней

полуплоскости

единственную

особую

точку

z1 = ia ,

являющуюся полюсом 1-го

порядка.

eiαz

Поэтому по основной теореме о вычетах I

= 2pi ×Resç

e−αa и I =

e−αa .

ç z2 + a2

∞

z=ia ø

69. Вычислить интегралы: а)

, б)

(x2

+1)3

(x2

+ 4)2

−∞

а) Решение. Рассмотрим интеграл по контуру, состоящему из отрезка [- R, R] и дуги CR

= ò

+ ò

+1)

−R

(z -i)3

ö²

(-3)(-4)

Resf (i) =

z = i — полюс 3 порядка и

lim

5 = -

limç

(z + i)

32i

-1)! z→i è

(z -i)

z→i

Тогда интеграл в левой части равен

2piç

÷ =

и приходим к такому равенству:

= ò

+ ò

+1)

−R

R → ∞ .

Оценим

второй

интеграл

при

Максимум модуля подынтегральной функции

f (z) обозначим

M (R) . Если

R ×M (R) ® 0,

то

f (z)dz ® 0 .

R→∞

∞

Тогда

имеем R ×M (R) = max

® 0. Окончательно

−∞ò

(R2 -1)3

(x2 +1)3

(z2

+1)3

R→∞

Ответ:

Ответ: б)		p	.
Ответ: б)	16		.
	16		∞
			∞	sin ax
70. Вычислить интегралы: а) ò				sin ax	dx , б)
70. Вычислить интегралы: а) ò					dx , б)
	0			x

∞ò xsin x dx .

0 x2 +1

Ответ: а) - p ,

б)

∞ x2 +1

∞ x4 +1

71. Вычислить интегралы: а) ò

dx , б) ò

dx .

x6 +1

−∞

а) p

, б)

Ответ:

72. Вычислить интегралы:

∞ xsin ax

∞ cos ax

∞

sin ax

а) ò

dx, a > 0 , б) ò

dx, a > 0 , в) ò

dx, a > 0, b > 0.

+ r

x(x

+ b

)

0 x

pear

−

(1- e−ab ) .

, a > 0, r >

0 , б)

+ sin

Ответ:

а)

2 çcos

÷ , в)

2b2

2 2

2 ø

∞

xdx

∞

x2dx

73. Вычислить интегралы с бесконечными пределами: а)

, б) ò

, a > 0 ,

+ 4x +

13)

+ a

)

−∞

∞

sin ax

в) ò

dx, a > 0, b > 0 .

(x2 + a2 )(x2

+ b2 )

−∞

p(2a + b)

Ответ: а)

б)

в)

2a3b(a + b)2

∞

x cos xdx

74. Пользуясь леммой Жордана, вычислить указанные интегралы: а)

- 2x +10

∞

−∞

xsin xdx

б) ò

, в) ò

x2 - 2x +10

x2 + 4x + 20

−∞

Ответ:

а)

(cos1- 3sin1) , б)

(3cos1+ sin1) , в)

(2cos 2 + sin 2) .

2e4

3e3

5. Тестирование по пройденному материалу

1.	Вычислить	1ò+i zdz .
		0
2.	Написать интегральную формулу Коши, выражающую значения функции f (z) в области через
значения функции f (z) на границе L				области.
				∞	n
3.	Определить радиус сходимости ряда			å	nz	.
3.	Определить радиус сходимости ряда			å	n	.
			z + 2	n=1	2
4.	Найти особые точки функции		z + 2	и определить их тип.
4.	Найти особые точки функции		z(z -1)3	и определить их тип.
5.	Что такое вычет функции? Как он обозначается?

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.201566.05 Кб32тесты ПИ- билеты.doc
#
11.05.201558.37 Кб76тесты ПИ- билеты.doc
#
11.05.201550.69 Кб8Техническое задание. 430-2. Тимофеев Д..doc
#
11.05.2015264.9 Кб6ТЗ.docx
#
16.03.2016390.26 Кб20ТЗ_РЦиС.pdf
#
11.05.2015334.93 Кб158Типовые задачи c решениями.pdf
#
11.05.2015803.15 Кб31титульник.pdf
#
05.09.2019250.03 Кб3ТН.docx
#
11.05.201525.79 Кб134ТОКБ лаба1.docx
#
11.05.2015231.92 Кб16ТОКБ лаба1.pdf
#
11.05.2015387.07 Кб24ТОР.doc