eltsov
.pdf5. Дифференциальные уравнения
n |
|
|
Cjykj (x0) yk0 |
(yчн)k (x0), |
k 1,2,...,n , |
j 1 |
|
|
определитель которой W(x0) 0 , и поэтому существует един-
ственное решение этой системы. Теорема доказана.
5.3.3.Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
|
|
y |
a1y |
a1y |
... a1y , |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
1 1 |
2 2 |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
y |
a2y |
a2y |
... a2y , |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
1 1 |
2 2 |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
........................................ |
|
|
(5.46) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
any |
any |
... any |
|
|
|
||||
|
|
|
n |
1 1 |
2 2 |
|
|
n |
n |
|
|
|
или в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
y Ay . |
|
|
|
|
|
(5.46а) |
||
Будем искать ненулевое решение системы (5.46) в виде |
||||||||||||
y ert |
( , |
2 |
,..., )T ert ( ert, |
2 |
ert,..., |
n |
ert )T. |
(5.47) |
||||
|
1 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
Подставив это решение в (5.46), получаем равенство
r ert A ert , |
откуда, сокращая на ert , можем записать |
r A или |
A r A E r (A rE) 0 . Последнее |
соотношение (A rE) 0 есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Таким образом, y ert — решение системы (5.46) тогда, когда r — собственное число, а — ему соответствующий собственный вектор матрицы A. Подробнее об определении и нахождении собственных векторов и собственных чисел смотри в книгах по
191
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
линейной алгебре, в частности в [1] и [2]. Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.
В первом случае имеем n решений
y1 1er1t, y2 2er2t, ..., yn nernt.
Этасистема функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,
|
1er1t |
1er2t |
K 1 ernt |
|
|
1 |
1 |
K 1 |
|
||
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
W(x) |
2er1t |
2er2t |
K |
2ernt |
(r ... r )t |
2 |
2 |
K |
2 |
. |
|
1 |
2 |
K |
n |
e 1 |
n |
1 |
2 |
K |
n |
||
|
K |
K |
K |
|
|
K |
K |
K |
|
||
|
ner1t |
ner2t |
K nernt |
|
|
n |
n |
K n |
|
||
|
1 |
2 |
|
n |
|
|
1 |
2 |
|
n |
|
Так как система векторов 1, 2,..., n |
есть система соб- |
ственных векторов матрицы A, отвечающая разным собственным числам, то она линейно независима [2]. Поэтому мы получили n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.
Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа rj кратности k имеется k линейно независи-
мых собственных векторов j1 , j2 ,..., jk . Этот вариант ничем
не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа rj кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в [9, 10]. Второй называется методом Эйлера и заключаетсяв том, чтодля собственногочисла rj соответствующие решения находятся в виде где Pk 1 (t) — век- тор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k 1 с неопределёнными коэффициентами, подлежащимиопределению. Подставляяэторешениев (5.46), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции
Pk 1(t) .
192
5.Дифференциальные уравнения
Пр и м е р 1. Для линейной системы дифференциальных уравне-
|
x 2x y 2z, |
2 |
1 2 |
|
||||
|
|
2y 2z, матрица |
|
|
2 |
|
|
|
ний |
y x |
|
1 |
2 |
|
имеет собственные чис- |
||
|
|
3y 5z |
|
3 |
3 |
5 |
|
|
|
z 3x |
|
|
|
ла r1 3 с соответствующим собственным вектором |
1 |
( 1,1,3)T |
и |
||||||||||||||||
r2,3 1 кратности 2 с |
собственными |
|
векторами |
2 |
(1,1,0)T |
и |
|||||||||||||
3 (2,0, 1)T . Поэтому фундаментальная система решений состоит |
|||||||||||||||||||
из функций e3t |
, |
e t, |
e t , а общее решение имеет вид |
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
e3t |
|
e t |
|
2e t |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
e |
3t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y C1 |
|
|
|
|
C2 |
e |
|
C3 |
0 . |
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
3e |
|
|
0 |
|
e |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П р и м е р 2. |
Для системы дифференциальных уравнений |
||||||||||||||||||
x x y 2z, |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 4x y, |
матрица |
|
|
|
|
имеет собственные числа |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2x y z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
r 1 с соответствующим собственным вектором |
|
1 |
(0,2,1)T |
и |
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2,3 1 кратности 2, которому соответствует только один собственный вектор 2 ( 1,2,1)T . Поэтому линейно независимые решения, соответствующие собственному числу r2,3 1 , ищем в виде
x a bt
|
|
|
|
t |
y |
q nt e |
|
||
|
|
|
|
|
z |
s pt |
|
(a bt)e t
(q nt)e t .
(s pt)e t
Подставляя эти соотношения в исходную систему и приводя подобные, получаем систему алгебраических уравнений
n 2p 0,
4b 2n 0,
2b n 0,
b q 2s 0,4a n 2q 0,2a q p 0
193
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
для нахождения чисел a, b, q, n, s, p. Решая эту систему, имеем
b p, q p 2a, n 2p, s p a. Придавая свободным неизвест-
ным значения a C2, p C3, получаем общее решение исходной системы дифференциальных уравнений
x |
0 |
|
|
e t |
|
|
te t |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
t |
|
C2 |
|
|
|
t |
|
|
(1 2t)e |
t |
|
|
y |
C1 2e |
|
|
2e |
|
C3 |
|
|
. |
||||||||
z |
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|||
e |
|
|
|
e |
|
|
(1 t)e |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 3. Для линейной системы дифференциальных уравне-
ний |
x 3x 2y, |
матрица |
3 2 |
имеет собственные |
числа |
||
|
|
|
|
||||
|
y 4x y |
|
|
4 |
1 |
|
|
r1,2 1 2i . Собственный вектор, |
отвечающий собственному числу |
||||||
1 2i , равен 1 |
(1,1 i)T . |
Для собственного числа 1 2i |
можно |
найти собственный вектор, а можно воспользоваться тем, что действительная и мнимая части решения 1e(1 2i)t являются линейно независимыми решениями системы. Поэтому общее решение системы можно записать в виде
|
x |
|
C |
|
|
et cos2t |
|
C |
|
|
et sin2t |
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
. |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||
y |
|
|
e |
(cos2t sin2t) |
|
e |
(sin2t cos2t |
5.3.4. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений (5.43) y A(x)y b(x) или, что то же самое, y A(x) y b(x) . (5.48)
Пусть имеется фундаментальная система решений y1,y2,...,yn системы (5.44) y A(x)y . Тогда общее решение
n
системы (5.44) записывается в форме Cjyj . Будем искать
j 1
частное решение неоднородной системы уравнений (5.48) в виде
n |
|
y Cj (x)yj, |
(5.49) |
j 1
194
5. Дифференциальные уравнения
где Cj (x) — функции, подлежащие определению. Дифференцируя вектор-функцию (5.49), получаем
n |
n |
|
y Cj (x) yj Cj (x)(yj) . |
(5.50) |
|
j 1 |
j 1 |
|
Подставляя вектор-функцию (5.49) и её производную (5.50) в систему уравнений (5.43), получаем
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
C |
(x)yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C (x)(yj ) A(x) |
|
C (x)yj |
|
|||||
|
j |
|
|
j |
j 1 |
j |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Cj (x)yj Cj (x) (yj ) A(x)yj b(x). |
(5.51) |
|||||||||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
(yj ) A(x)yj рав- |
|||
В этом соотношении слагаемое Cj (x) |
j 1
но нулю в силу того, что y1,y2,...,yn — решения однородной системы уравнений (5.44) y A(x)y .
Поэтому правая часть в (5.51) переписывается в виде
n |
|
|
Cj (x) yj |
b(x) |
(5.52) |
j 1 |
|
|
или в координатной форме |
|
|
n |
|
|
Cj (x) ykj bk (x), |
k 1,2,...,n. |
(5.52а) |
j 1
Так как определительсистемы (5.52) есть определительВронского для фундаментальной системы решений y1,y2,...,yn однородной системы уравнений (5.44) y A(x) y , то он отличен от нуля, и поэтому система (5.52) имеет единственное решение Cj (x), j 1,2,...,n, которое можнонайти по формулам Крамера
C (x) |
Wj (x) |
, |
j 1,2,...,n , |
|
|
||||
j |
W |
(x) |
|
|
|
|
|
где Wj (x) — определитель, полученный из определителя W(x) заменой столбца с номером j на столбец b(x). Интегрируя последние равенства, окончательно получаем
195
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
x W (x) |
|
% |
|
|
|
Cj (x) |
j |
|
|
|
|
|
dx Cj, |
j 1,2,...,n. |
|||
W(x) |
|||||
x0 |
|
|
|
|
|
Подставляя полученные значения Cj (x) |
в (5.49), получаем |
||||
|
n |
|
|
n |
|
|
|
j |
(x) |
% j |
(x) системы урав- |
общее решение y(x) Cj (x)y |
Cj y |
||||
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
нений (5.43).
П р и м е р. Для системы дифференциальных уравнений
x x 2y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующая однородная система уравне- |
||||
|
|
|||||
y 3x 4y |
e3t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ний имеет вид |
x x 2y , |
1 2 |
||||
y |
3x |
|
4y. Собственные числа её матрицы 3 |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
равны r1 1, |
r2 2 . Собственные векторы, отвечающие этим собствен- |
|||||
ным числам, равны соответственно (1,1)T |
и (2,3)T . Тогда фундамен- |
тальная система решений состоит из функций (et,et)T |
и (2e2t,3e2t)T . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Решение исходной системы ищем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
C |
|
et |
C (t) |
|
2e2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(t) |
t |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3e |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя в исходное уравнение, получаем систему |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
et |
|
|
|
|
2e2t |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
C1(t) |
|
C2(t) |
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
3e |
2t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или в координатной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
C |
(t)et |
2C |
(t)e2t |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
(t)et |
3C |
(t)e2t |
e3t 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эту систему, |
находим |
|
C |
2e2t |
4e t , |
C |
et |
2e 2t . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
% |
|
|
2 |
t |
|
2t |
|
% |
||
Проинтегрировав, имеем |
C1(t) e |
|
|
4e |
|
|
|
, |
C2 e |
e |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
C2 . |
||||||||||||||||||||||
Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
% |
et |
% |
|
2e2t |
|
|
e3t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
C |
|
t |
|
C |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
3t |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
3e |
|
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
196
6. Контрольные вопросы
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Предлагаемыенижеконтрольныеработы могут быть использованы для студентов заочной формы обучения. Их нумерация продолжает нумерацию контрольных работ пособий [2, 3].
Контрольная работа № 5
Вариант 5.1
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
3 tgx |
dx ; |
3. tgx dx ; |
|||||||||||||||
1. |
x3 3 |
2. |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
|
|
ex |
|
dx ; |
5. |
x cos2x dx ; |
6. |
|
x7 |
|
|
dx ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
1 |
|
2x |
(1 |
) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||
7. |
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
8. |
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
5x3 14x2 16x 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4)(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить определённые интегралы:
1
10.arctgx dx ; 11. cos2xsin3xdx .
0 |
0 |
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
|
dx |
|
2 |
|
xdx |
|
|
|||
12. |
|
; |
13. |
|
|
|
|
|
|
. |
x ln x |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
|
1 |
|||||||
e |
|
|
|
|
|
Выяснить сходимость несобственных интегралов:
x cos x |
|
1 |
|
xdx |
|||
|
15. |
|
|||||
14. |
|
dx ; |
|
|
|
. |
|
|
|
|
sin2 x |
||||
2 x3 |
x |
||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
16. Найти площадь области, ограниченной кривыми
y 2x2 1, |
y x 2. |
197
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
17.Найти длину дуги кривой
x2cost, y 2sin t, z t , 0 t .
Вариант 5.2
Найти неопределённые интегралы:
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
dx ; |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
3. |
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||
x4 |
|
|
cos2x (1 tgx) |
||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
3 cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
3x |
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
9 |
|
|
dx ; |
||||||||
4. |
|
|
|
|
dx ; |
5. |
dx ; |
|
|
|
6. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
5 |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; 8. |
cos x dx |
|
|
|
4x2 5x 46 |
||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 cos x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
x 1 |
x 1 |
(x |
|
16)(x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
|
|||||||||||||||
Вычислить определённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. |
x cos2x dx ; |
|
|
|
|
|
11. cos x sin5xdx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
|
dx |
2 |
|
dx |
|||
12. |
|
; |
13. |
|
|
|
. |
x ln3 x |
3 |
|
|
||||
x 1 |
|||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Выяснить сходимость несобственных интегралов:
|
sin x |
|
4 |
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
||||
14. |
|
|
|
|
dx ; |
15. |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
3 |
1 |
16 x |
2 |
|||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
16. Найти площадь области, ограниченной кривыми
y x2 1, y x 1.
17. Найти длину дуги кривой
y x3 , 0 x 4.
198
6. Контрольные вопросы
Вариант 5.3
Найти неопределённые интегралы:
1. xx2 5 dx ; 2.
e2x
4. (1 e2x)3 dx ; 5.
|
cos x |
|
ctgxdx ; |
|||||||
|
|
|
|
dx ; |
3. |
|||||
5 |
|
|
|
|
||||||
sin x |
||||||||||
ln(x |
2 |
1) dx ; |
|
|
x11 |
|||||
|
6. |
|
dx ; |
|||||||
|
1 x6 |
7. |
|
x 1 |
|
|
dx ;8. |
|
dx |
; 9. |
|
x3 7x2 9x 1 |
dx . |
||
3 |
|
|
|
|
sin2 x cos4 x |
(x2 1)(x 1)2 |
|
||||||
|
x 1 |
||||||||||||
Вычислить определённые интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
xsin3xdx ; |
|
11. cos3x sin7x dx . |
|
|||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
|
x3dx |
|
1 |
|
dx |
||
|
13. |
|
|||||
12. |
|
; |
|
|
|
. |
|
|
3 |
|
|
||||
2 x4 |
(1 x)2 |
||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
Выяснить сходимость несобственных интегралов:
3x 1
14. 1 (2 x)2 x 1 dx ;
1
15. ln(1 x) dx .
0 x3 sin x
16. Найти площадь области, ограниченной линиями
y(x 1)2, y 2(x 1).
17.Найти длину дуги кривой
x 2t sin2t, y 1 cos2t, 0 t .
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Вариант 5.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|||||
2 |
2. |
sin x |
3. |
cos x |
||||
1. xex 1dx ; |
|
|
|
dx ; |
|
dx ; |
||
3 |
|
|
2 sin x |
|||||
cos x |
199
АА. . Ельцов. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения
4. |
(2 ex)8 exdx ; |
5. |
xsin3xdx ; |
|
6. x9 3 1 x5 dx ; |
||||||||||||
7. |
|
|
|
dx |
|
; 8. |
|
dx |
|
|
; 9. |
|
|
2x2 4x 35 |
|
dx . |
|
x |
x 8 |
|
cos x sin |
3 |
|
|
2 |
2x 2)(x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
x |
|
(x |
3) |
|
|||||||||
Вычислить определённые интегралы: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
|
ln(x2 1) dx ; |
11. |
cos2x cos3x dx . |
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
|
dx |
|
e |
dx |
|||
12. |
|
|
; |
13. |
|
. |
|
x2 |
2x 2 |
||||||
x ln x |
|||||||
0 |
|
|
|
1 |
|
|
Выяснить сходимость несобственных интегралов:
|
|
|
|
x |
2 |
6x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
|
|
|
|
dx ; |
|
|
15. |
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
x sin x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16. Найти площадь области, ограниченной линиями |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y ex, |
y e x, |
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
17. Найти длину дуги кривой y ln x, |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 |
8. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найти неопределённые интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
|
|
|
|
sin |
dx ; |
|
2. |
|
ln x |
dx ; |
|
3. |
|
cos x |
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
x |
|
sin x |
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
e2x |
|
dx ; |
|
5. |
x tg |
2 |
3xdx ; |
6. |
|
|
|
x15 |
|
|
dx ; |
|||||||||||||
|
|
1 e4x |
|
|
|
(1 x8)3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
200