Lesn4_Rjady

Глава IV. Ряды Лорана

5. Вычет в точке z0 =

Обратимся сначала к понятию вычета функции в бесконечно удаленной точке. Пусть z0 = изолированная особая точка функции f(z). Тогда функция аналитична в некоторой

проколотой окрестности U (z0 ) : R | z | точки z0 .

Возьмем в этой окрестности любой контур C, внутри которого лежит точка z = 0. Внутри контура C находятся все конечные особые точки функции f(z), если они есть. Назовем такой контур достаточно большим для точки z0 = .

Возьмем на контуре C отрицательное направление. Тогда, как и для конечной особой точки функции f(z), при обходе контура в выбранном направлении область DC, ограниченная контуром и содержащая точку z0 = , будет оставаться все время слева по ходу движения.

Из теоремы Коши для многосвязной области вытекает, что

интеграл f (z)dz не зависит от выбора контура C, достаточно

C

большого для точки z0 . Поэтому он является своеобразной численной мерой неаналитичности функции в точке z0.

Согласно теореме Лорана функция f(z) раскладывается в проколотой окрестности R | z | точки z0 = в ряд Лорана:

f (z) an zn . (9)

n

По аналогии с конечными особыми точками доказывается равенство

80

§4. Вычеты функции

Замечание. Как следует из примера 5, если z0 = - устранимая

особая точка функции f(z), то вычет Res f (z) не всегда

равен нулю.

6. Основные теоремы о вычетах

Теорема 3 (Теорема Коши о вычетах).

Пусть в односвязной области, ограниченной контуром C, функция f(z) имеет конечное число особых точек z1, z2 ,...,zn ; на контуре особых точек нет. Тогда выполня-

ется равенство

81

Глава IV. Ряды Лорана

Рассмотрим теперь свойство всей совокупности особых точек функции.

Теорема 4 (Основная теорема о вычетах).

Пусть функция f(z) имеет на комплексной плоскости ко-

нечное число особых точек z1, z2, …, zn, z0 = . Тогда сумма вычетов функции по всем этим точкам равна нулю:

n

Res f (z) 0 . (13)

k 0 zk

Доказательство. Построим контур C, достаточно большой для

точки z0 = . Тогда все конечные особые точки z1, z2, …, zn функции f(z) будут находиться внутри контура C (см. рис.). Согласно теореме 3 и определению вычета в точке z0 = получаем

Обратимся теперь к прикладным вопросам теории выче-

тов.

82

§5. Приложение вычетов к вычислению интегралов.

Лекция 10

§5. Приложение вычетов к вычислению интегралов

1. Вычисление интегралов по контуру

Вычисление интегралов по контуру с помощью вычетов заключается в использовании теоремы Коши о вычетах и основной теоремы о вычетах.

Пример 1.

83

Глава IV. Ряды Лорана

Пример 3.

ных изолированных особых точек. Все они являются устранимыми или полюсами порядка, не большего n.

Теорема 2. Пусть рациональная функция f (z) Pm (z) , n > m + 1,

Qn (z)

на вещественной оси непрерывна, а в верхней полуплоскости имеет конечное число полюсов z1, z2, … , zk. Тогда имеет место равенство

на вещественной оси непрерывна, а в нижней полуплоскости имеет конечное число полюсов z1, z2, … , zk. Тогда для< 0 имеет место равенство

84

§5. Приложение вычетов к вычислению интегралов.

Следствие. При условиях теоремы 3 справедливы равенства:

На этом мы закончим исследование рядов Лорана и их приложений. Перейдем к рассмотрению рядов другой структуры.

85

Глава V. Ряды Фурье

Лекция 11

Глава V.

Ряды Фурье

§1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций

Сначала рассмотрим постановку вопроса в самом общем виде. Будем использовать аналогию с конечномерными линейными пространствами. Распространим понятия линейной алгебры на случай бесконечномерных линейных пространств. Таковыми являются многие классы функций.

Рассмотрим один из них. Исследуя тригонометрические ряды, будем работать, в основном, с кусочно-непрерывными функциями f(x): R R.

Определение 1. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной

на отрезке, если она непрерывна на нем или имеет конечное число точек разрыва и только первого рода.

В каждой из таких точек разрыва функция f(x) имеет конечные односторонние пределы f(x0 0) и f(x0 + 0). Поэтому на данном отрезке функция ограничена. Кроме того, как известно, функция интегрируема на этом отрезке.

ассмотрим множество L[a, b] всех функций, кусочнонепрерывных на отрезке [a, b]. Относительно, сложения функций и умножения функции на действительное число множество L[a, b] образует бесконечномерное линейное векторное пространство. (Проверить самостоятельно).

В данном пространстве можно задать аналог скалярного произведения векторов.

Определение 2. Скалярным произведением функций f(x) и g(x)

называется число, определяемое равенством

b

( f , g) f (x)g(x)dx . (1) a

Можно показать, что это произведение обладает всеми ал-

86

§1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

гебраическими свойствами скалярного произведения векторов, кроме последнего свойства.

Вместо термина "модуль вектора" будем использовать понятие "норма функции" и будем употреблять для него обозначение || f || . Дадим формальное определение.

При наличии в линейном пространстве скалярного произведения обычным образом определяется отношение ортогональности "векторов".

Определение 4. Функции f(x) и g(x) называются ортогональными на отрезке [a, b], если имеет место равенство

Рассмотрим теперь аналог базиса линейного пространства. Определение 5. Система функций

о аналогии со степенными рядами вводятся ряды нового

вида.

Определение 6. Функциональный ряд вида

an n (x) , (5)

n 0

где an R, называется рядом по ортогональной системе функций { n(x)}.

Если ряд (5) сходится на отрезке [a, b] к некоторой функции f(x), то на этом отрезке выполняется равенство

87

Глава V. Ряды Фурье

f (x) an n (x) . (6) n 0

В таком случае будем говорить, что функция f(x) раскладыва-

ется на отрезке в ряд по ортогональной системе функций.

Теорема 1. Если функция раскладывается на отрезке в равномерно сходящийся ряд по ортогональной системе функций, то такое разложение единственно.

Доказательство. Пусть ряд (5) сходится на отрезке [a, b] равномерно к функции f(x). Тогда имеет место равенство (6). Умножим обе части этого равенства на функцию n ( x) :

f (x) n (x) am m (x) n (x) .

m 0

Так как функция n ( x) ограничена на отрезке [a, b], то

последний ряд сходится на [a, b] тоже равномерно. Проинтегрировав его почленно, получим:

Из данного равенства следует, что коэффициенты ряда (6) однозначно определяются функцией f(x). Поэтому разложение

(6) функции f(x) определяется единственным образом. ►

По аналогии с рядами Тейлора теперь вводятся ряды Фурье1.

1 Фурье Ж.Б.Ж. (1768 – 1830) - французский математик, физик.

88

§1. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

Определение 7. Функциональный ряд an n (x) , коэффициен-

n 0

ты которого определяются равенствами

называется рядом Фурье функции f(x) по ортогональной системе функций { n(x)}, а его коэффициенты - коэффи-

циентами Фурье.

Существует большое число ортогональных систем функций, используемых в прикладных областях:

многочлены Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита, ортогональные системы тригонометрических функций, функций Бесселя, функций Радемахера, функций Уолша и так далее.

Рассмотрим одну из них, наиболее важную с прикладной точки зрения, основную тригонометрическую систему функций.

§2. Тригонометрический ряд Фурье

Будем предполагать, что отрезок [a, b] является симметричным относительно нуля: [a, b] = [ l, l].

вычисление интегралов.

Основное свойство системы функций (1) выражает следующее утверждение.

89