Lesn4_Rjady
.pdf
Глава VII. Элементы операционного исчисления
X ( p) F( p) ( p) , |
1 |
|
|
где Φ( p) |
|
. |
|
Qn ( p) |
|||
Так как функция Φ(p) |
является правильной рациональ- |
||
ной дробью, то соответствующий оригинал можно восстановить одним из двух рассмотренных методов. Пусть это будет (t):
1 |
|
|
|
(t) |
|
. |
(6) |
Qn ( p) |
|||
Согласно теореме Бореля об изображении свертки получа- |
|||
ем x(t) ( f )(t) . Таким образом, |
|
||
|
t |
|
|
x(t) f ( ) (t )d . |
(7) |
||
0 |
|
|
|
Решение задачи Коши свелось к интегрированию произведения двух известных функций. Изображение функции f(t) не понадобилось.
Пример 3.
Решим задачу Коши:
x x f (t) , x(0) x (0) 0 .
В данной задаче начальные условия нулевые, характеристиче-
ский многочлен имеет вид Q2 ( p) p2 1 . В силу (6) тогда (t) 1 . p2 1
По таблице изображений находим: (t) sin t . Согласно равенству (7) получаем:
t
x(t) f ( ) sin(t )d .
0
есколько иначе решается та же задача с использованием интеграла Дюамеля.
Рассмотрим снова уравнение (1) с нулевыми начальными условиями. Представим его операторное уравнение в виде
X ( p) |
F ( p) |
pF( p) |
1 |
|
pF( p)Ф( p) . |
||
Qn ( p) |
pQn ( p) |
||||||
|
|
|
|
||||
Так как функция |
Φ( p) |
|
1 |
|
является правильной ра- |
||
|
|
||||||
pQ ( p) |
|||||||
|
|
|
|
n |
|
||
циональной дробью, то соответствующий оригинал можно вос-
150
§5. Приложения операционного исчисления.
становить рассмотренными методами. Пусть это будет (t):
1 |
|
(t) pQn ( p) . |
(8) |
Докажем, что (0) = 0. Действительно, если в уравнении
(1) с нулевыми начальными условиями положить f(t) = 1, то получим F ( p) 1p . Тогда решение операторного уравнения примет
1 |
|
|
вид X ( p) |
|
. Таким образом, X(p) = Φ(p), то есть функции |
pQ ( p) |
||
|
n |
|
(t), x(t) имеют одно и то же изображение. Следовательно,(t) = x(t) и в силу нулевых начальных условий (0) = x(0) = 0.
Из равенства X(p) = pF(p)Φ(p) теперь cогласно формуле Дюамеля вытекает, что
x(t) f (0) f (t) f .
Запишем это равенство в интегральном виде
t |
|
x(t) f ( ) (t )d . |
(9) |
0 |
|
Заметим, что производная (t) функции, определяемой равенством (8), равна функции (t), определяемой равенством
(6). Поэтому интегралы (7) и (9) дают один и тот же результат.
Пример 4. Решим задачу Коши предыдущего примера:
|
|
x x f (t) , |
x(0) x (0) 0 . |
||||||||||||
В |
данном случае характеристический многочлен имеет вид |
||||||||||||||
Q2 ( p) p |
2 |
1 . В силу (8) тогда |
(t) |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|||
|
|
p( p2 |
1) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разложим изображение на простейшие дроби: |
|||||||||||||||
|
|
|
(t) |
|
1 |
|
1 |
|
p |
|
|
. |
|||
|
|
|
p( p2 1) |
p |
p2 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
По |
|
таблице |
изображений |
|
находим: (t) 1 cost . Тогда |
||||||||||
(t) sin t и согласно равенству (9) получаем |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) f ( ) sin(t )d . |
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение x(t) |
имеет такой же вид, как и в предыдущем примере. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151 |
Глава VII. Элементы операционного исчисления
2. Решение систем линейных дифференциальных уравнений
При решении систем линейных дифференциальных уравнений основная идея остается прежней.
От системы дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций переходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно их изображений. Найдя изображения неизвестных функций, восстанавливаем затем сами функции.
Проиллюстрируем эту идею на примере.
Пример 5.
Решим задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений:
|
|
3x 2 y 12e |
5t |
, |
|
x |
|
x(0) y(0) 0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
y |
x 2 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Перейдем к системе операторных уравнений:
pX 3X 2Y p125 ,
pY X 2Y .
Запишем систему линейных уравнений в стандартном виде
( p 3) X 2Y p125 ,
X ( p 2)Y 0.
2. Решим систему уравнений, например методом исключения:
X = (p – 2)Y;
( p 3)( p 2)Y 2Y p125 ;
преобразуем коэффициент при Y в левой части уравнения:
( p 3)( p 2) 2 p2 5 p 6 2 ( p 1)( p 4) ;
Y |
12 |
|
; |
|
( p 1)( p 4)( p 5) |
|
|||
X |
|
12( p 2) |
. |
|
|
|
|
||
|
( p 1)( p 4)( p 5) |
|||
|
|
|
||
152
§5. Приложения операционного исчисления.
3. Выразим правильные рациональные дроби через простейшие:
X |
|
A |
|
|
B |
|
C |
|
|
1 |
|
8 |
1 |
9 |
1 |
, |
||||
|
p 1 |
p 4 |
p 5 |
p 1 |
p 4 |
p 5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Y |
1 |
|
4 |
1 |
|
3 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
p 1 |
p 4 |
|
p 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Используя таблицу изображений, восстанавим оригиналы:
|
t |
8e |
4t |
9e |
5t |
, |
x(t) e |
|
|
|
|||
|
4e4t 3e5t . |
|
||||
y(t) et |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Это и есть решение задачи Коши для исходной системы дифференциальных уравнений.
На этом мы закончим знакомство с основами операционного исчисления. Закончим и весь курс в целом.
153