Lesn4_Rjady

Глава IV. Ряды Лорана.

Эта функция аналитична в данной области. Исследуем сумму рассматриваемых рядов

Если r > R, то этот ряд расходится на всей комплексной плоскости. Если же r < R, то ряд сходится (абсолютно) в кольце

Так как для абсолютно сходящегося ряда порядок слагаемых несущественен, то сумму рядов можно записать кратко:

an (z z0 )n .

n

Определение 1. Функциональный ряд вида

60

§1. Ряд Лорана. Основные понятия.

1

an (z z0 )n (3)

n

называется главной частью ряда Лорана. Подведем итоги исследований.

1.Степенной ряд является рядом Лорана, состоящим только из правильной части. Это означает, что ряд Лорана является обобщением степенного ряда.

2.Область сходимости ряда Лорана, если она не является пустым множеством, есть некоторое кольцо

в объединении с некоторым множеством его граничных точек. Кольцо (4) называется кольцом сходимости ряда Лорана. 3. Сумма S(z) ряда Лорана аналитична в кольце сходимо-

сти ряда.

Пример.

Найдем сначала радиус и круг сходимости степенного ряда:

Для исследования главной части ряда Лорана применим признак Даламбера абсолютной сходимости ряда:

Отсюда следует, что главная часть ряда Лорана сходится в области | z | 1 и расходится в круге | z | 1.

Таким образом, ряд Лорана сходится в кольце D : 1 | z | 3.

61

Глава IV. Ряды Лорана.

§2. Разложение функции в ряд Лорана

ля каждого ряда Лорана его сумма f(z) определяется однозначно. Возникает вопрос, а будет ли однозначным разложение функции в ряд Лорана? Ответ на этот вопрос дает

Доказательство опустим. Оно основывается на том, что коэффициенты ряда Лорана определяются равенствами

где C - любая окружность с центром в точке z0, лежащая в данном кольце.

Мы уже установили, что если функция раскладывается в некотором кольце в ряд Лорана, то она в этом кольце аналитична. Оказывается, имеет место обратное утверждение.

в ряд Лорана (1) по степеням разности z z0 тогда и только тогда, когда она аналитична в этом кольце.

62

§2. Разложение функции в ряд Лорана.

Определение 1. Открытое кольцо r | z z0 | R с центром в

точке z0 минимального радиуса r внутренней граничной окружности и максимального радиуса R внешней граничной окружности, в котором функция f(z) раскладывается в ряд Лорана (1), называется кольцом разложения функции по степеням разности z z0.

Следствие 2. На граничных окружностях кольца разложения в ряд Лорана функция имеет хотя бы по одной особой точке.

Следствие 3. Пусть функция имеет на комплексной плоскости конечное число особых точек. Тогда для любой точки z0 вся комплексная плоскость разбивается на конечное число открытых концентрических колец с центром в точке z0. В каждом из них функция раскладывается в свой ряд Лорана по степеням разности z z0 .

Пример.

Определим кольца разложения в ряд Лорана по степеням z функции

f (z) 22z 5 . z 5z 6

D1: 0 < |z| < 2; D2: 2 < |z| < 3; D3: 3 < |z| < + .

Если не принимать во внимание граничные окружности этих колец, то можно сказать, что функция f(z) раскладывается

63

Глава IV. Ряды Лорана.

в ряд Лорана по степеням z на всей комплексной плоскости (од-

нако в каждом кольце разложение будет отличаться от разложений в других кольцах). Согласно теореме Тейлора разложение этой же функции f(z) в ряд Тейлора по степеням z возможно только в первом кольце D1.

Заметим, что в системе концентрических колец только одно внутреннее кольцо D1 всегда является проколотой окрест-

ностью точки z0 .

Если z0 = 0, как в примере, то внешнее кольцо (в примере

– это D3) является окрестностью бесконечно удаленной точки .

Оно всегда имеет аналитическое залание вида R < |z| < + . Разложение функции в ряд Лорана в окрестности точки

имеет одну особенность. В этом разложении первый ряд (степенной) считается главной частью ряда Лорана, а второй ряд –

правильной частью!

так, мы получили достаточно простой критерий того, что функцию можно разложить в ряд Лорана. Как же практически выполнить это разложение?

Так как вычислительные формулы (2) для коэффициентов ряда Лорана сложны, то на практике разложение функции в ряд Лорана непосредственно по формулам (1) и (2) не применяется.

Разложение функции в ряд Лорана можно выполнять с ис-

пользованием уже известных разложений других функций,

например, разложений функций в ряд Тейлора.

Наконец, в ряд Лорана можно раскладывать рациональные дроби. В основе такого разложения лежит метод, который применяется при разложении рациональных дробей в ряд Тейлора.

Соответствующие примеры будут рассмотрены на практике.

Рассмотрим теперь, как применяются ряды Лорана при исследовании так называемых особых точек функции.

64

§3. Особые точки функции

Лекция 8

§3. Особые точки функции

1. Основные понятия

Определение 1. Пусть функция f(z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z0. Если функция аналитична и в точке z0, то z0 называется правильной точкой функции.

Если же функция не аналитична в точке z0, то z0 называ-

ется изолированной особой точкой функции (ИОТ).

Функция является элементарной и определена на всей комплексной плоскости, кроме точки z0 = 0. Поэтому функция аналитична во всех точках комплексной плоскости, кроме точки z0 = 0. Так как функция не определена в точке z0 = 0, то она и не аналитична в этой точке. Следовательно, z0 = 0 – изолированная особая точка функции f(z).

Будем различать следующие виды особых точек.

65

Глава IV. Ряды Лорана

Разложение (1) можно использовать для характеризации видов особых точек функции. Начнем с исследования устранимой особой точки.

2. Устранимая особая точка функции

Теорема 1. Особая точка функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности этой точки функция f(z) раскладывается в ряд Лорана, главная часть которого не содержит слагаемых.

Доказательство. Ограничимся доказательством только этой импликации.

Пусть главная часть ряда Лорана (1) не содержит слагаемых, то есть ряд Лорана является рядом Тейлора:

66

§3. Особые точки функции

процессе доказательства теоремы.

Согласно доказательству теоремы в проколотой окрестно-

ряд из правой части равенства сходится в круге KR : | z z0 | R

Отсюда вытекает первый замечательный предел: lim sinz 1 . z 0 z

Перейдем к рассмотрению особых точек другого вида.

67

Глава IV. Ряды Лорана

3. Полюс функции

Пусть z0 – особая точка функции f(z). Вместе с функцией f(z) рассмотрим функцию f*(z), определяемую равенством

Аналогия в свойствах полюсов и нулей проявляется и в следующем факте.

68

§3. Особые точки функции

Теорема 3. Особая точка z0 функции f(z) является полюсом порядка m тогда и только тогда, когда существует аналитическая в этой точке функция (z), удовлетворяющая условию

Равенство (3) будем называть стандартным видом функции f(z) для полюса z0.

Из теоремы 3 вытекает, что любой полюс порядка m функции f (z) получается в результате деления некоторой ана-

литической функции на степень (z z0 )m .

Рассмотрим теперь, как полюсы функции связаны с ее разложением в ряд Лорана.

Теорема 4. Особая точка z0 функции f(z) является полюсом порядка m тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности этой точки функция раскладывается в ряд Лорана, главная часть которого содержит конечное число слагаемых:

69