1.4.9. Решение задач 8,9 контрольной работы 1

Задача 8. Даны множества и N}. Какова мощность множеств?

Решение. МножествоAконечно и задано перечислением своих элементов, множествоBзадано характеристическим свойством. Запишем несколько первых элементов множества. Видим, чтои, т.е. множествоконечно.

Покажем, что множество счетно. Зану-меруем его элементы:

Задана биекция множества Nна множество, следовательно, счетно и .

По определению декартова произведения . Запишем элементы этого множества в виде матрицы (рис. 1.27) и занумеруем их по столбцам.

AB	3	7	11	15	…
-2	(-2,3)1	(-2,7)4	(-2.11)7	(-2,15)10	…
-1	(-1,3)2	(-1,7)5	(-1,11)8	(-1,15)11	…
0	(0,3)3	(0,7)6	(0,11)9	(0,15)12	…

Рис. 1.27. МножествоA  B

Замечаем, что если номер nделится на 3 без остатка, то первый элемент пары равен 0; если номерnделится на 3 с остатком 1, то первый элемент пары равен –2; если номерnделится на 3 с остатком 2, то первый элемент пары равен -1. Поэтому способ нумерации может быть задан следующим образом:

и множество счетно, т.е. имеет мощность₀.

Задача 9. Равномощны ли множестваи?

Решение. Покажем, что множества равномощны по теореме Кантора-Бернштейна, т.е. покажем, что найдетсятакое, что, и найдетсятакое, что.

Выберем в качестве множествои установим биекциюследующим образом:

Множества иYравномощны.

Пусть . Установим биекциюпо закону. МножестваиXравномощны. По теореме Кантора-Бернштейна.

1.4.10. Контрольные вопросы и упражнения

1. Является ли биекцией отображение , заданное на отрезке [-1;1]? А заданное на [0;1]?

2. Являются ли равномощными множества и?

3. Являются ли равномощными множество и множество корней квадратного уравнения?

4. Сформулируйте теорему Кантора-Бернштейна.

5. Покажите, пользуясь теоремой Кантора-Бернштейна, что множества и равномощны.

6. Даны множества и. Чему равно?

7. Впишите ответ:

Если ,,то________ .

8. Пусть . ТогдаB(X)=______,B(X)={______________}.

9. Сколько подмножеств имеет множество ?

10. Какое множество называется счетным?

11. Покажите, что множество целых чисел Zсчетно.

12. Мощность счетного множества обозначается _____ .

13. Сформулируйте свойства счетных множеств.

14. Множество X– все натуральные числа, делящиеся на 3; множествоY– натуральные числа, делящиеся на 4. Какова мощность множества?

15. Используя обобщенное правило включения-исключения (см. 1.4.4) решите задачу 1 контрольной работы 1.