5.3 Анализ собственных волн пв.

5.3.1 Возможные типы волн. Из (5.8) следует, что для E-волн приn=0, либо m=0. Таким образом, волны E_nm существуют только при n, m>0. Для H -волн при n=m=0 : , тогда,. Следовательно, волны H₀₀ не существует. Но один из индексов (n или m) может быть равен нулю, т.е. возможны типы волн H_0m и H_n0.

5.3.2 Постоянные распространения. В соответствии с методом разделения переменных, решения (5.8) задач (5.6)-(5.7) получены при условии:

.

Поперечное волновое число определяется индексами n и m, т. е. типом волны, и размерам ПВ. Следовательно, каждому типу волны соответствует своя постоянная распространения и фазовая скорость.

5.3.3 Затухающие волны в ПВ. Согласно (5.3) поле в ПВ имеет вид распространяющейся волны только при действительном , т.е. когда k>k . Если k<k , то подставив , где - действительно, в выражение (5.3), получим экспоненциально убывающее вдоль оси поле (рисунок 5.2):

.(5.9)

Аналогичное выражение можно получить для магнитного поля.

Выражение (5.9) описывает поле, которое совершает синфазные гармонические колебания по закону , при этом распределение поля в поперечном сеченииипо-прежнему определяется задачами (5.6) и (5.7) и уравнениями (5.5), т.е. остается тем же самым, что и у распространяющихся E- или H-волны. Поэтому такое поле называют затухающей E_nm или H_nm волной. Отметим, что несмотря на название, такое переменное поле волной по существу не является. Коэффициент  называют коэффициентом затухания. Следует подчеркнуть, что уменьшение амплитуды поля вдоль оси Oz в данном случае не связано с какими-либо потерями энергии. Согласно (5.9) определяет расстояние  z, на котором амплитуда поля Е₀ уменьшается в e2.72 раз - рисунок 5.2.

5.3.4 Условия распространения волны в ПВ. Определим условия, при которых на данной частоте в ПВ с размерами a и b будет распространяться заданный тип волны. Как было отмечено выше, распространяющаяся волна будет существовать в волноводе при выполнении неравенства k>k , т. е.

.

Тогда частота должна удовлетворять неравенству:  <  _кр, где введено обозначение:

.

 _кр называется критической частотой данного типа волны. При  <  _кр волна с индексами (n, m) распространяться не будет. Критическая частота растет с увеличением индексов n и m . Волна, обладающая минимальной  _кр называется основной волной (основным типом волны). Все остальные волны называют высшими типами волн.

Поскольку a - размер широкой стенки, то из выражения для  _кр следует, что в ПВ основной волной будет волна с n=1, m=0. Очевидно, что это H-волна , т.к. в классе E-волнm>0. Критическая частота волны:

.

В теории волноводов используется также понятие критической длины волны, соответствующей критической частоте в свободном пространстве: . Для волны- равна удвоенному размеру широкой стенки ПВ.

На частотах, меньших критической частоты основной волны, волновой процесс в ПВ существовать не может. В данном случае волновод называют запредельным. Поле в запредельном волноводе представляет собой суперпозицию бесконечного числа затухающих волн вида (5.8), соответствующих различным коэффициентам затухания:

.(5.10)

Электромагнитное поле в любом сечении, как отмечалось выше, синфазно изменяется со временем по гармоническому закону. Амплитуда колебаний очень быстро убывает с ростом z. Отрезки запредельных волноводов часто используют в качестве аттенюаторов, т.к. вносимое ими затухание на заданной частоте легко рассчитать с помощью (5.10) и (5.9).

5.3.5 Длина волны в ПВ. Длина волны в волноводе определяется следующим образом . Подставив выражение для получим:

.

Перейдем в правой части от длины волны к частоте:

.

Отметим следующие особенности:

• длина волны в волноводе больше длины волны в свободном пространстве при той же частоте волны;

• при ,- поле приближается к синфазному;

при

, т.е. с ростом частоты длины волны в волноводе приближается к длине волны в свободном пространстве - рисунок 5.3.

5.3.5 Фазовая и групповая скорости волн в ПВ. Аналогично выражению для длины волны можно получить формулу для расчета фазовой скорости собственной волны ПВ:

.

Фазовая скорость собственных волн ПВ больше скорости света, поэтому собственные волны ПВ называют быстрыми волнами. Групповая скорость собственных волн в ПВ (скорость распространения энергии) не совпадает с фазовой:

.

Групповая скорость меньше скорости света, при v_гр=0 т.е. волновой процесс исчезает. Отметим, что v_гр и v_nm зависят от частоты, следовательно, ПВ обладает дисперсией. При больших частотах f   групповая и фазовая скорости стремятся к скорости света с в диэлектрике, заполняющем волновод - рисунок 5.4. Стремление фазовой скорости к бесконечности при связано с тем, что приколебания в ПВ становятся синфазными.