Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tr_ma4s_0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

716.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

2.4Дифференцирование функций комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

Пусть w = f(z) определена в некоторой области D комплексного переменного z. Пусть точки z и z + z принадлежат области D. Обозначим

w = f(z + z) − f(z), z = x + i y.

Определение 2.11. Функция w = f(z) называется дифферен-

z→0

zВМ

цируемой в точке z D, если отношение

имеет-конечный

МИРЭА

предел при z, стремящемся к нулю. Этот предел называется

производной функции f(z) в данной точке z и обозначается f′(z)

или w′, т.е.

w′ = f′(z) =

lim

(2.10)

Кафедра∂x = ∂y , ∂y = −∂x,

(2.11)

Определение 2.12.

Функция

f(z)

называется аналитиче-

ской в точке z0, если она дифференцируема в самой точке z0 и в

некоторой окрестности этой точки.

МГТУ

Теорема 2.2. Для того, чтобы функция f(z)

= u(x, y) +

iv(x, y) была дифференцируемой в точке z

= x + iy, необходи-

мо и достаточно, чтобы функции u(x, y), v(x, y)

были диффе-

ренцируемы в точке (x, y) и чтобы в этой точке имели место

равенства

∂u

∂v

∂u

∂v

называемые условиями Коши-Римана. При этом формулы для

производной функции f′(z) имеют вид:

f′(z) =

∂u

∂v

∂u

∂v

∂u

(2.12)

+ i

− i

∂x

∂y

∂x

∂y

В следующих примерах установить аналитичность функции.

Пример 2.8. f(z) = z2.

Решение: выделим действительную и мнимую части функции,

подставив вместо z = x + iy:

f(z) = (x + iy)2 = (x2 − y2) + 2xyi,

т.е.

Re f(z) = u(x, y) = x2 − y2,

Im f(z) = v(x, y) = 22xy.

ВМ

МИРЭА

Функции u(x, y), v(x, y) – дифференцируемы во всех точках (x, y).

Проверим выполнение условий Коши-Римана (2.11):

∂u

∂v

∂u

= −2y,

∂v

∂x = 2x,

∂y = 2x,

∂y

∂x = 2y.

Кафедра

Условия (2.11) выполнены, т.е. выполнены условия теоремы (2.11),

следовательно f(z) = z2 – аналитична во всей комплексной плос-

кости.

Пример 2.9.

f(z) = 3

+ 2.

МГТУ

Решение: выделим действительную и мнимую части функции, подставим вместо z = x − iy

f(z) = 3(x − iy) + 2 = (3x + 2) − 3yi,

т.е.

Re f(z) = u(x, y) = 3x + 2, Im f(z) = v(x, y) = −3y.

Функции u(x, y), v(x, y) – дифференцируемы во всех точках (x, y), проверим выполнение условий Коши-Римана (2.11)

∂u	= 3,	∂v	= −3,	∂u	= 0,	∂v	= 0,

∂x		∂y		∂y		∂x

так что ∂u∂x =6 ∂v∂y , т.е. первое условие Коши-Римана не выпол-

нено ни в одной точке комплексной плоскости. Значит функция w(z) = 3z + 2 нигде не дифференцируема, а следовательно и не аналитическая.

Обычные правила дифференцирования функций действительного переменного остаются справедливыми для функций ком-

плексного переменного. Если f1	(z), f2	(z) – аналитическая в об-
ласти D, то		2
ласти D, то

1) f1(z) ± f2(z), f1(z) · f2(z) – также аналитические в области D,

(z)

– аналитична во всех точках области D, где-f2(z) 6= 0.

(z)

При этом имеют место формулы

f1′ (z)ВМf2(z) f2′ (z)f1(z)

f (z)

f (z) ′

= f′

(z)

f′

(z),

± 2

c f (z) ′

= c f

(z),

f1(z)

′ =

1′

−

МИРЭА

2.5 СвязьКафедрааналитическихМГТУи гармонических функций.

гармонической

в области D, если она имеет в этой области непрерывные част -

ные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

∂2ψ	+	∂2ψ	= 0.	(2.13)
∂x2		∂y2

Теорема 2.3. Если функция f(z) = u + iv аналитична в некоторой области D, то ее действительная часть u(x, y) и мнимая часть v(x, y) являются гармоническими в этой области функциями, т.е. u(x, y), v(x, y) удовлетворяют уравнению Лапласа:

∂2u		∂2u		∂2v ∂2v				(2.14)
	+		= 0,		+		= 0.
∂x2		∂y2		∂x2		∂y2

Определение 2.14.		2
	Две гармонические функции, связанные
условиями Коши-Римана называются сопряженными.
Функция u(x, y) = x2	ВМ
	− y2 + x и искомаяМИРЭАфункция v(x, y) долж-
Пример 2.10.	-
Показать, что функция u(x, y) = x2 − y2 + x является гармони-

ческой. Восстановить аналитическую функцию f(z) по действительной части u(x, y) и условию f(0) = 2.

Решение: найдем частные производные функции u(x, y):

Кафедра∂u ∂v

∂u

∂2u

∂u

∂2u

∂x

= 2x + 1,

∂x2

= 2,

∂y

= −2y,

∂y2

= −2.

Сложим

∂2u

∂x2

∂y2

= 2 − 2 = 0, т.е. u(x, y) удовлетворяет уравне-

нию Лапласа и является гармонической.

МГТУ

ны удовлетворять условиям Коши-Римана

∂u∂x = 2x + 1,

но из (2.11)

∂x = ∂y = 2x + 1.

Интегрируем последнее уравнение по y ( считая x постоянной),

получаем
v(x, y) = R (2x + 1)dy + c(x) = (2x + 1)y + c(x).	(2.15)

Из второго условия Коши-Римана

∂v

∂u

(2.16)

= −

= 2y.

∂x

∂y

Вычислим

∂v

используя (2.15).

∂v

= 2y + c′(x) и приравняем оба

∂x

выражения 2y + c′(x) = 2y, т.е. c′(x) = 0. Отсюда находим c(x) =

c1, где c1 постоянная, т.е. v(x, y) = (2x + 1)y + c1. Следовательно,

f(x + iy) = x2 − y2 + x + i (2x + 1)y + c1 .

Для того, чтобы записать функцию f(z) можно взять y2= 0, x =

z, тогда f(z) = z

+ z + ic1. Для нахождения c1 воспользуемся

условием f(0) = 2, 2 = ic , т.е. c

−

2i, окончательно f(z) =

z2 + z + 2.

ВМ

при |f′(z0)| < 1 имеет место сжатие.

МИРЭА

2.6 Геометрический смысл модуля и аргумента произ-

водной. Примеры конформных отображений.

Рассмотрим функцию w = f(z) – аналитическую в точке z0 и

f′(z

) = 0. Тогда f

′(z

)

равен коэффициенту растяжения в точке

z0 при отображении w = f(z) плоскости z на плоскость w:

при |f′(z0)| > 1 имеет место растяжение,

кривой наКафедраплоскости w при отображении w = f(z).

Аргумент производной f′(z0) геометрически равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к любой гладкой кривой на плоскости z, проходящей через точку z0, чтобы получить направление касательной в точке w0 = f(z0) к образу этой

Если ϕ = arg f(z) > 0, то поворот происходит против часовой стрелки, если ϕ = arg f(z) < 0 – по часовой.

	Определение 2.15. Отображение окрестности точки z0 на
окрестность точки w0				, осуществляемое функцией w = f(z),
f′	(z		МГТУ		, если в точке
		) = 0, называется конформным в точке z
	0	6		0
z0	оно обладает свойством сохранения углов между линиями и
постоянством растяжений.

Свойство сохранения углов означает: если при отображении w = f(z) кривые γ1 и γ2 переходят соответственно в кривые 1 и2, то угол ϕ между касательными k1 и k2 к кривым γ1 и γ2 в точке z0 будет равен углу Φ между соответствующими касательными K1 и K2 к кривым 1 и 2 в точке w0, т.е. Φ = ϕ (см. рис. 12).

y	k2	γ
		2

			2
			-
		ВМ
		МИРЭА
	ϕ	k1
			γ1
	z0
Кафедра			u
O			x
v	МГТУ
	w0	K2
		K2
	Φ = ϕ
O
	1 K1	2
	1 K1
	Рис.12

Свойство постоянства растяжений: при отображении, осущест-

вляемым аналитической функцией, f′(z0) 6= 0 "малые элементы"в точке z0 преобразуются подобным образом с коэффициентом k =

|f′(z0)|.

Рассмотрим примеры конформных отображений, осуществляемые линейной функцией w = az + b и степенной w = zn.

1. Линейная функция w = az + b, где a и b – постоянные комплексные числа (a 6= 0). Пусть a = reiα, z = |z|eiψ. Рассмотрим

два преобразования, составляющие функцию w:			2
	w1 = az,

	w = w1 + b,	ВМ

		МИРЭА
	w1 = reiα · \|z\|eiψ = r\|z\|ei(α+ψ),		-
т.е. w1 = r\|z\|,arg w1 = ψ + α. Значит функция w1 осуществляет
преобразование подобия с центром в начале координат и коэф-
фициентом равным r и поворот вокруг начала координат на угол
α.	Кафедра	√	π
	Преобразование w = w1 +b – параллельный перенос с помощью

вектора, соответствующего комплексному числу b.

Таким образом, при отображении w = az + b нужно вектор z повернуть на угол α = arg a, изменить его длину в r = |a| раз и параллельно перенести на вектор b.

часовой стрелке наМГТУ) и растяжение с коэффициентов |a| = 2.

Пример 2.11.

Определить область D2 плоскости w, на которую отобразится

область

D плоскости z функцией w = (1

−

i)z + 2i. Область D :

|z| ≤ 2,

o ≤ arg z ≤

Решение: Представим функцию w = (1 − i)z + 2i = w1 + 2i,

где w1

= (1 − i)z. Коэффициент a = 1 − i, |a| =

, arg a = −

т.е. w1

осуществляет поворот области D1 на угол −

(поворот по

√

В результате получаем, что область D1 перешла в область D.

Заключительный шаг: w = w1 + 2i – это параллельный перенос

полученной области D на вектор, соответствующий числу 2i (см. рис. 13).

МИРЭА

Кафедра2	МИРЭА
Рис.13
2. Степенная функция w = zn, n ≥ 2, – целое положительное

число.

Отображает взаимно-однозначно и конформно внутренность угла с вершиной вМГТУначале координат, раствор которого θ не

превосходит 2π на внутренность угла с вершиной в начале коор-

динат раствора nθ.

Пример 2.12.

Определить область D плоскости w, на которую отобразится

область D плоскости z функцией w = z2. Область D :
1						1
	π	z		π	,
		z			,
\|		\| ≤				π
Решение: при отображении w = z2			луч arg z = −			π	перейдет в

						6

(

− 6 ≤ arg ≤ 3 z 3.

								70
луч arg w = −2			π	= −	π	, луч arg z =					π		перейдет в луч arg z =

			6		3						3
	2π	.
3		.
3		\|w\| = \|z\|2 = 9 т.е. получим область D2 (см. рис.14):
		\|w\| = \|z\|2 = 9 т.е. получим область D2 (см. рис.14):
				− 3				≤ arg w ≤			23		,
							π					π
								z	\| ≤	9.
								\|	\| ≤				2
													2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015216.89 Кб17TrAlg2s.pdf
#
14.08.2019346.62 Кб7transportirovka-postradavshego.doc
#
10.05.2015171.63 Кб13TR_1sem.pdf
#
10.05.2015266.27 Кб28Tr_ma1s_pdf.pdf
#
10.05.2015716.58 Кб26Tr_ma4s.pdf
#
10.05.2015716.58 Кб23Tr_ma4s_0.pdf
#
19.09.2019146.43 Кб7TSPP.doc
#
10.05.20154.13 Mб10TVizbor_privet_privet.pdf
#
10.05.2015816.7 Кб65TXT.rtf
#
10.05.2015295.27 Кб9UMK_Inform_teh_bak.pdf
#
24.12.20181.29 Mб6ush.pos.doc.doc