Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tr_ma4s_0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

716.58 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

48. Свойства коэффициентов ряда Фурье.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973.

2.Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1977.

3.Сборник задач по математике для втузов. Специальные-2раз- делы математического анализа./ Под редакцией А.В. Ефимова и Б.П.Демидовича. – М.: Наука,ВММИРЭА1981.

4.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., Заляпин В.И. Высшая математика. Т. 4. – М. 2004.

5.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М., Айрис Пресс, 2004.

3Основные типы задач по курсу математического анализа

	Кафедра
	(теория функций комплексной переменной)
3	\|z +МГТУi\| < 1 4	0 < Re z < 3
Задача №1.

Изобразить на комплексной плоскости область, заданную неравенством или системой неравенств.

№			№

1	1 < \|z − 2\| < 3		2	2 < \|z + 4 − 3i\| < 3


		Re z < 0			−	3 < Im z < 0
					−

5					1 < z · z¯ < 4																	6								z · z¯ < 9
																																					π

									Imz¯ < 0																		0 < arg z <
									Imz¯ < 0																		0 < arg z <
					z							2																z + i							3

7										−				< 1								8												> 1
7														< 1								8					z + 1							> 1
						z + 2																					z + 1

					(z				1)(¯z						1) < 1																z				4
9						−							−									10					Re							<	4
9						−							−							3π		10					Re				z¯			<	5
					π															3π											z¯				5
																																		-2
						< arg(z									1) <
				4		< arg(z									1) <					4
				4							z¯ −				4					4

11						Im								>								12					z < 2Re z
11						Im								>								12					z < 2Re z
																									ВМ
15						Im								<								16				\|z\| < Re(1 + z)
15						Im					z			<			2					16				\|z\| < Re(1 + z)
21						z + z¯								> 2								22				МИРЭАIm(z − 2¯z) > 2
										z					5												\| \|				1
13						\|z\| > 1 + Im z																14					Re z¯ >								1
									1						1
27				Кафедра\|z − 1\| + \|z + 1\| < 8																		28		4 < \|z − i\| + \|z + i\| < 8
17						Re(z2)								< 1								18					Im z¯2							>	2
19						Re(z2 − z¯) < 0																20				Im(z2 + 2i) > 0
							2					2																		2
23										МГТУi + z 2															2					z + 1
23						\|z − 2\|						<		\|1 − z¯\|								24				\|z + 2\| >								\|z¯ − i\|
	1						1								1						1		1				1								1				1
25		4	< Re					z¯		+ Im								z		<	2	26	6	< Re					z¯			− Im				z¯		<	4

29				0 < arg								i − z				<			π			30			π	< arg							z − 1		< π
29				0 < arg												<						30				< arg									< π

Задача №2.

Представить данное комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.

	№																													№

	1							(2 − 2i)														7								2						√													3
																						7														√													3
																																(− 3 − 3i)
	3	(	−	1 + i)(									−			3 + √												i)	4	4	(1 + i3)(2														25i) 10
	3	(		1 + i)(												3 + √												i)	4	4	(1 + i3)(2														25i) 10
																										3		11														−								13
																																										−
	5		−		i7			(2 −								2√							3		i					6	i11					√							√
					i7											2√									i						i11					√							√							i
																										)						(−					12 −i								-86 )2
																9													7			(−
																9													7
																																	ВМ



							−1 + i
	11						−1 + i																							12				(1 + 3										i)
																															МИРЭА
				√3																1 + i17											МИРЭА
	7			√3									i							1 + i17										8									−
			−							−					i		5						21											1 + i																16
									1						i																				1 +						√4 i
	9							√−																						10			−			1 + i3
												3 + i													15															√
																		15																													6
		Кафедра																																		(1 + i)2
				√						√				√							3															(1 + i)2
					−						3 − i												7		)	10										4		+ 5i					10			)		10
			( 5 + 15 i																						)							(7i						+ 5i								)
	13						√														3		)	4						14		(−7						i2		− 7					i3			)		2
					( 3 + 3i																		)									(−7								− 7								)
				√											√										3	)	6
	15		(			17 −													51 i							)
				(20i8 + 3i18)4
			2					МГТУz − 8i = 0
Задача №3.
Решить уравнения. Корни уравнения изобразить на комплекс-
ной плоскости.
			№
			1																								z3 − 27 = 0
																												3

			3																								z4 + 16 = 0
			4																				z6 + 16z3 + 64 = 0

1 + i

z8 +

= 0

1 − i

z6 + i

2 + i

= 0

1 − 2i

z4 − z2 + 1 = 0

z4 + 8iz2 − 16 = 0

z4 + 2z2 + 4 = 0

z4 − 2(1 + √

i)z2 − 2(1 −

√

i) = 0

ВМ

z3 − 6iz

− 12z + 8i + 1 = 0

√

МИРЭА

+ 8 2 (1 − i)z

− 64i = 0

z6 + 12iz4 − 48z2 − 64i = 0

z3 + 3z2 + 3z + 9 = 0

Задача №4.

Кафедра

Решить уравнение. Корни уравнения изобразить на комплекс-

ной плоскости.

№

МГТУ

№

√

e + 3i = 0

+ 5 2 − 7 = 0

e2z + 3ez − 4 = 0

sin z = 2

cos z = −3

sh z = −5

ch z = 6

sin z = −3i

cos z = 2i

sh z = −4i

tg z = −2i

th z = 3

13	sin z + cos z = 2	14	sin z − cos z = 3
15	2 ch z + sh z − 4

Задача №5. Вычислить все значения заданного выражения и

изобразить эти значения на комплексной плоскости.

√

№

ВМ

(−2)−√

9 (−4)i

√

(−1) 2

МИРЭА

10i

(

√

3−i

−

+ i

Кафедра

√

(−3)√2

3 − i

12 (−5)−i

−√2

−

1 − i

(

√5

(

2)π i

Задача №6.

МГТУ

а) Проверить, является ли функция f(z) аналитичной, исполь-

зуя условия Коши-Римана.

№

f(z) = ie3z−i2

f(z) = z2 + 5z

−

f(z) = cos(iz − 1)

− 1)

f(z) = cos(iz

f(z) = sh 2z + i

f(z) =

+ z2

f(z) = (iz)2 + 5z + 3i

f(z) = |z|z + i

9	f(z) = ie(iz−1)			10	f(z) = sin(zi + 2)
11	f(z) = ch 3z − i			12				+ z2 + 4
					f(z) = zz
13	f(z) = 3z2 − 4z + 2i			14	f(z) = sh iz + Re z
15	f(z) = ie5z + z			16	f(z) = i\|z\| − z2
17	f(z) = iz · Re 5z			18	f(z) = cos i(z + i)
19	(z + 2) · Im 3z			20	f(z) =			Re 2z

										z	2
		2
21	f(z) = i(z + i)		− 4z	22	f(z) = cos(z-+ i)

	f(z) = ze−3z − i				4			− Im z
23				24	f(z) =
						z
25	f(z) = i ch iz			26	f(z) = (2z + 5i)Re z

27	f(z) = cos iz − ch z			28	f(z) =				z		i
									z
29	f(z) = −iz3 + 2i			30	ВМ\| \|
					f(z) = iez		+ (z + i)2
31	f(z) = ln \|z\| + i arg z			32	f(z) =	zez + iz2
33	f(z) = 3(z + i)2 + z − 2			34	f(z) = (z − 2i)2 + 2z + 3

б) Показать, что заданные функции являются гармоническими.
						МИРЭА
Восстановить аналитическую функцию f(z) по ее действительной
части u(x, y) или мнимой ν(x, y) и значению f(z0).

	№

	1	u = sin 3x ch 3y				f(0) = 0
		Кафедра
	2	ν = sin(2 − x) sh y				f(2) = 1
	3	u = cos	y	ch	x	f(0) = 1
	3	u = cos		ch		f(0) = 1
		2		2
		МГТУ
	4	2 2				f(i) = 2i − 1
	4	ν = x − y		+ 2x		f(i) = 2i − 1
							i
	5	u = e2x cos(2y + 1)				f −		= 1
	5	u = e2x cos(2y + 1)				f −	2	= 1

ν = cos 4x ch 4y

f(0) = 1

ν = sin(y − 2) sh x

f(2i) = 1

ν = − cos 2x sh 2y

f(0) = 0

u =

f(π) =

, z 6= 0

x2 + y2

ν = e−y sin x + y

f(0) = 1

u =

e2x + 1

cos y

f(0) = 2

u = sin x ch(y − 2)

f(2i) = 0

ν =

−

sin 2x

e4y − 1

f(0) = 1

e2y

ν = sin y ch(x − 3)

f(3) = 0

u = arctg

f(1) = 0, z = 0

ВМi 6

ν = e2x sin(2y + 1)

= 1

2 2

ν = x

− y + x

f(i) = −1

ν = cos x sh(y + 3)

f(−3i) = 0

ν = 10xy − 6y

МИРЭА= −1

2y ch(2x

= 0

= sin

−

cos 2x + y

ν = e

f(0) = i

u = cos

f(0) = 1

Кафедра

ν = sin(2y + 3) sh 2x

f(0) = cos 3

u = sin y ch x

f(0) = 0

МГТУ

ν = − e2y sin 2x + x

f(0) = 0

u = cos x ch(y − 3)

f(3i) = 1

	27		ν = sin y ch(x + 1)									f(−1) = 0
	28			u = e−y cos x + x									f(0) = 1
	29			ν =		e2x − 1					sin y		f(0) = 2
	29			ν =					ex		sin y		f(0) = 2
									ex
	30				u = sin x sh y								f(0) = i

				2												2
Задача №7.																-
Задача №7.
Определить область D плоскости W , на которую отобразится
		1	2		−1 + i						i	2		ВМ− 4 0
область D1 плоскости Z заданной функцией														МИРЭА
область D1 плоскости Z заданной функцией														ω		= f(z). Начертите
D1 и D2. ω = azn + b; D1 : \|z\| ≤ R; α1 ≤ arg z ≤ α2.
		№ n						a			b	R		α1			α2
															π
		Кафедра7 2 − 3 + i −1 − i										2	0			3
2			2		1 + i						−i	3	0					π
2			2		1 + i						−i	3	0			4
3			2		1 − i						1 + 3i	1	0					π
3			2		1 − i						1 + 3i	1	0			2
										√								π
4			2		1 + i 3						5i	5	0					π
				МГТУ√											π			π
																6
										√					π			π
5			2		−1 + i 3 2 − i							1	4			3
6			2		√			3 + i			1 + 5i	1	0					π
																4
					√												2π
					√												2π

					√													π
					√													π
		8	2		− 3 − i						2i	3	0
		8	2		− 3 − i						2i	3	0			6

		9	2				3 − i				−3i	5
		9	2				3 − i				−3i	5	6			3
10			2		2 + 2i						1 + 4i	2			π			π

													6			2
													6			2

11	3		2 − 2i			2 − i	3		π						3π

								4						4
12	3		−1 + i			5i	1	0								π

														2
13	3		−1 − i			3 − i	3	0								π

														4
14	3		−2 + 2i			5 + i	2	−				π				π

												6		3
												π					-
15	2		1 + i			−i	2	0								π		2
15	2		1 + i			−i	2	0						4				2

								ВМ

18	2		−1 − i 3			−5i	5	−					0
18	2		−1 − i 3			−5i	5	−				3	0
21	2			3 − i		1 + i	2	МИРЭА− 3 0
16	2		−1 − i			i	3	−				4		0
17	2		−1 + i			−1 − 3i	1	−				π		0
17	2		−1 + i			−1 − 3i	1	−				6		0
					√							π
24	Кафедра3 −2 − 2i −1 − 2i						2	− 2						− 6
					√							π					π
19	2		1 − i 3 −2 + 2i				1	−				3		−			4
			√									π
20	2		− 3 − i			−1 − 2i	1	−			12			0
			√									π
		МГТУ
			√									π
22	2			3 + i		−2i	3	−				6		0
			√									π					π
23	2		− 3 + i			3i	5	−				3		−			6
												π					π

25	3		−2 + 2i			−2 + i	3	−		3π				−			π

												4					4

Задача №8.

Получить все разложения f(z) в ряд Лорана по степеням z−z0. Если z0 – особая точка, указать тип этой особой точки и найти

res f(z).

z=z0

	№	z0										f(z)
	1	−	1									z − 1
	1		1					z(z + 1)
								z(z + 1)
	2	−	2			z2 + 2z − 4										-2
		−					z2(z						−	2)
					2z			2					−		4
	3	2			2z							− 5z +
												− 5z +
							z(z − 2)2
							z(z − 2)2
	4	1										sin z

												z − 1
												z − 1
	5	1										z + 2

										z2 − 1					ВМ
										z2 − 1

																МИРЭА





	9	1				2z			2			− z + 1
	9	1										− z + 1
Кафедраz + 3z + 2z + 1
6		2										z
				(z + 2)(z + 3)
7		−	1						3z − 1
		−				z2 − 2z − 3
8		0										z
											z2 + 4
МГТУ(z −2 1)2
									z3				− z
10		0				z2			2z − 3
						2z			2− 3z + 2
11		−2					z2(z + 2)
			3									2
	12	−1
	12	−1				z2(z + 1)2
13		1										ez
13		1

14		1						3z					− 1
													− 1
							z(z2 − 1)
							z(z2 − 1)

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.2015216.89 Кб17TrAlg2s.pdf
#
14.08.2019346.62 Кб7transportirovka-postradavshego.doc
#
10.05.2015171.63 Кб13TR_1sem.pdf
#
10.05.2015266.27 Кб28Tr_ma1s_pdf.pdf
#
10.05.2015716.58 Кб26Tr_ma4s.pdf
#
10.05.2015716.58 Кб23Tr_ma4s_0.pdf
#
19.09.2019146.43 Кб7TSPP.doc
#
10.05.20154.13 Mб10TVizbor_privet_privet.pdf
#
10.05.2015816.7 Кб65TXT.rtf
#
10.05.2015295.27 Кб9UMK_Inform_teh_bak.pdf
#
24.12.20181.29 Mб6ush.pos.doc.doc