Основное содержание дисциплины:

Модуль 1. Введение в математический анализ.

Тема 1. Множества. Действительные числа.

Понятие множества. Операции над множествами. Множество R действительных чисел. Изображение действительных чисел на прямой. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные множества. Числовые промежутки. Понятие окрестности точки.

Тема 2. Функция и ее предел.

Функциональная зависимость. График функции. Способы задания функций. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные функции и их графики. Числовые последовательности.

Понятия предела числовой последовательности и предела функции. Единственность предела. Предел суммы, произведения и частного. Предельный переход в неравенствах. Односторонние пределы. Бесконечно малые величины их сравнение.

Замечательные пределы и пределы, связанные с ними.

Тема 3. Непрерывность функции.

Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Непрерывность суммы, произведения и частного. Переход к пределу под знаком непрерывной функции. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Непрерывность обратной функции. Глобальные свойства непрерывных функций.

Модуль 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Тема 4. Производная и дифференциал.

Производная и дифференциал, их геометрический и механический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производная и дифференциал сложной функции. Производная обратной функции. Производные основных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Механический смысл второй производной. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Касательная и нормаль к кривой.

Тема 5. Основные теоремы дифференциального исчисления и их приложения.

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции в точке и на промежутке. Максимум и минимум функции. Нахождение наибольших и наименьших значений функции на отрезке. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты. Применение дифференциального исчисления к построению графиков функций.

Модуль 3. Неопределенный интеграл

Тема 6. Первообразная и неопределенный интеграл.

Понятие первообразной и ее связь с производной. Свойства первообразной. Первообразная функция и неопределённый интеграл. Понятие неопределенного интеграла и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Непосредственное интегрирование.

Тема 7. Методы вычисления неопределенных интегралов.

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменой). Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.

Модуль 4. Определенный интеграл.

Тема 8. Определённый интеграл

Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический смысл определённого интеграла. Интегрируемость непрерывной функции. Основные свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных пределах.

Вычисление площадей плоских фигур в полярных и декартовых координатах. Вычисление длины дуги плоской кривой. Вычисление объема тела вращения. Вычисление площади поверхности вращения.