Типовые задачи
1. Вычисление скалярного произведения векторов.
Задача 1. Определить скалярное
произведение векторов
и
Решение.
Задача 2. Даны вершины треугольника А(2; 3; -1),B(4; 1; -2),C(1; 0; 2). Найти:
Внутренний угол при вершине С.
Проекцию вектора СВ на вектор СА.
Орт вектора СВ.
Решение.
;
;
1. 
2.
3.
Задача 3. Проверить, могут ли векторы:
быть ребрами куба
найти третье ребро.
Решение.
Да, т.к.
,
.
,
,
2. Вычисление векторного произведения векторов.
Задача 4. Векторы
и
образуют
угол
;
.
Найти
.
Решение.
=
6.
Задача 5. Даны точки А(3; 1; -1),B(2;
4; 3),C(4; 5; 3). Найти координаты
.
Решение.
=
.
Задача 6. НайтиSABC, еслиA(3; 0; -3),B(5; 2; 6),C(1; 2; 0).
Решение.
,
.
кв.ед.
3. Вычисление смешанного произведения векторов
Задача 7. Даны векторы
,
,
.
Вычислить
.
Решение.
= -24-14+30=- 8
Задача 8. Проверить компланарны ли векторы:
а)
б)
Решение.
а) Найдем смешанное произведение векторов
:
.
Следовательно, векторы не являются компланарными.
б) Найдем смешанное произведение векторов
:
.
Следовательно, векторы являются компланарными.
Задача 7. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой
A(3; 2; 4),B(1; -2; 1),C(7; 9; 4),D(5; 4; 3).
Решение.
.
Найдем координаты векторов
куб.ед.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Определить угол между векторами
и
2. Найти длины сторон и углы треугольника с вершинами А(-1;-2;4), В(-4;-2;0), С(3;-2;1).
3. Показать, что четырехугольник с вершинами A(-5; 3; 4),B(-1; -7; 5),C(6; -5; -3),D(2; 5; -4) – квадрат.
4. В треугольнике АВС с вершинами А(1; 1;-1), B(2; 3; 1),C(3; 2; 1) найти:
длины сторон,
внутренние углы,
острый угол между медианой BDи стороной АС.
5. Определить при каком значении mвекторы
и
взаимно перпендикулярны.
6. Даны векторы
,
,
.
Найти проекцию вектора
на вектор
.
7. Даны вершины треугольника А(1;2;1), В(3;-1;7), С(7;4;-2). Показать, что этот треугольник равнобедренный.
8. Даны векторы
,
.
Найти
1)
2)
9. Дано: A(2;3;-5),B(-1;4;-6),C(5;-3;1). Вычислить длину высоты, опущенной из В на АС.
10. Даны векторы
,
,
.
Вычислить смешанное произведение данных
векторов.
11. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой
A(1;2; 3),B(0;-1; 1),C(2;5;2),D(3;0;-2).
Занятие 6. Прямая на плоскости.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Общее уравнение прямой на плоскости.
Нормальное уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов нормального уравнения прямой.
Уравнение прямой в отрезках. Геометрический смысл коэффициентов уравнения прямой в отрезках.
Направляющий вектор прямой.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.
Параметрическое уравнение прямой.
Каноническое уравнение прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Геометрический смысл коэффициентов.
Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Типовые задачи
1. Уравнение прямой на плоскости.
Задача 1. Указать особенности расположения прямых. Построить прямые:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1) Прямая общего вида.
Для построения прямой достаточно знать
координаты двух ее произвольных точек.
Полагая
,
получим
.
Имеем одну точку
.
Полагая
,
получим
.
Имеем вторую точку
.
Строим точки А и В и проводим через них
прямую.
Можно использовать уравнение прямой в отрезках.
Из уравнения
получим
,
т.е.
.
Здесь 2 и -4 отрезки, отсекаемые на осях
Оxи Оyсоответственно.
Задача 2. Определить при каком
значении
прямая:
параллельна оси ОХ
проходит через начало координат
Решение
1) Прямая
параллельна оси ОХ при
2)Прямая
проходит через начало координат при
.
Задача 3. Уравнение прямой
представить в различных видах.
Решение
- Уравнение с угловым коэффициентом
-
уравнение прямой в отрезках
-
нормальное уравнение прямой.
Задача 4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки
1)
2)
Решение
1)
,
т.е.
или
2)
,
т.к.
,
то
или
Задача 5. Написать уравнение прямой,
проходящей через начало координат
перпендикулярно вектору
.
Решение.
Задача 6. Написать уравнение прямой,
параллельной вектору
и отсекающей на осиOYотрезок равный 6.
Решение.
Задача 7. Написать уравнение прямой,
проходящей через точку
и перпендикулярно прямой, соединяющей
точки
и
.
Решение.
Координаты нормального вектора
.
Уравнение прямой
Задача 8. Найти угол между прямыми:
1)
и
;
2)
и
;
3)
и
;
4)
и
.
Решение.
1) Воспользуемся формулой
.
Находим
,
.
2) Воспользуемся формулой
Находим
,
Находим
,
.
4)
