- •Типовые примеры Действия над матрицами
- •Типовые примеры Вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Типовые примеры Решение систем линейных уравнений методом Крамера
- •Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Типовые задачи
- •1. Уравнение прямой на плоскости.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •1. Множества и операции над ними.
- •2. Декартово произведение.
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задания для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение пределов с использованием свойств эквивалентных бесконечно малых функций
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Нахождение производных с помощью таблицы производных
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •1.Нахождение производных сложных функций, заданных явно
- •2. Дифференциал функции одной переменной
- •3. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Типовые задачи
- •Задачи для самостоятельного решения:
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Задача №5. Найти решение системы методом обратной матрицы:
Решение.
Здесь , так что матрица А невырожденная и искомое решение имеет вид.
.
Отсюда
Задача №6. Решить систему уравнений матричным методом:
Решение.
Находим:
т.е. – решение данной системы.
Задачи для самостоятельного решения:
Решить системы уравнений методом Крамера и методом обратной матрицы.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Понятие системы линейных алгебраических уравнений.
Понятие решения системы линейных алгебраических уравнений.
Определение совместной и несовместной системы.
Достаточное условие совместной системы.
Определение однородной и неоднородной системы.
Определение ранга матрицы.
Алгоритм решения неоднородной системы линейных уравнений методом Гаусса.
Алгоритм решения однородной системы линейных уравнений.
Типовые задачи
Задача №1. Решить систему методом Гаусса:
Решение.
В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение системы:
Если положить, например, , то найдем одно из частных решений этой системы ;.
Задача №2. Решить систему методом Гаусса:
Решение.
Произведем элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы:
.
Полученная матрица соответствует системе
Осуществляя обратный ход, находим
Задача №3. Решить систему методом Гаусса:
Решение:
.
Наличие противоречивой строки говорит о несовместности системы линейных уравнений.
Задача №4. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение.
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен числу неизвестных. Система имеет единственное решение, т.е. нулевое (тривиальное):
Задача №5. Решить однородную систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение.
Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных (3<4). Система имеет бесконечно много решений. Получим систему:
Если положитьтои получиличастное решение исходной системы.
Задачи для самостоятельного решения:
I. Решить системы линейных уравнений:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
II. Найти решение системы линейных уравнений в зависимости от параметра:
1.
2.
3.
Занятие 5. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов..
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
Дать определение скалярного произведения векторов.
Перечислить свойства скалярного произведения векторов.
Скалярное произведение векторов в координатной форме.
Приложения скалярного произведения для нахождении.
Какое произведение векторов называется векторным?
Перечислить свойства векторного произведения.
Какие приложения имеет векторное произведение в геометрии и механике?
Записать условие коллинеарности (параллельности) векторов.
Какое произведение векторов называется смешанным?
Перечислить свойства смешанного произведения. Его геометрический смысл.
Как выражается смешанное произведение через координаты?