1.2. Выборочные числовые характеристики Опорный конспект

Выборочными характеристиками называются функции наблю­дений, приближенно оценивающие соответствующие числовые характеристики случайной величины. Наиболее популярны сле­дующие выборочные характеристики.

Выборочное среднее, которой называют среднее арифметическое значение выборки.

Если все значения выборки различны, то

(2.1)

Для статистического ряда:

(2.2)

Для интервального статистического ряда:

(2.3)

где – середина интервала; – количество интервалов.

Выборочная дисперсия , которой называют среднее арифметическое квад­ратов отклонений наблюдаемых значений от выборочного среднего.

Если все значения выборки различны, то

Если значения выборки имеют соответствующие частоты, то

Если выборка представлена интервальным статистическим рядом, то

где – середина интервала; – количество интервалов.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют ариф­метический квадратный корень из выборочной дисперсии:

На практике используют более удобную формулу для вычисления не­смещенной выборочной дисперсии для статистического ряда:

(2.4)

Для интервального статистического ряда:

(2.1.5)

Несмещенное выборочное среднее квадратичное отклонение:

(2.6)

\

Очевидно, что выборочные характеристики являются случайными величинами.

В качестве других используемых на практике выборочных ха­рактеристик можно назвать выборочную моду x_mod, равную зна­чению варианты с наибольшей частотой, и выборочную медиану x_med, равную значению, стоящему в середине вариационного рада (либо полусумме двух значений, стоящих рядом, при четном числе наблюдений), выборочные начальные моменты k-го порядка

и выборочные центральные моменты k-го порядка

Коэффициентом вариации вариационного ряда называется процентное отношение среднего квадратического от­клонения к выборочному среднему .

Коэффициентом асимметрии называется число и эксцессом вариационного ряда называется число

Заметим, что вычисление выборочных характеристик для ка­кого-либо набора полученных в исследовании данных может быть полезно даже без предположения, что наблюдения представляют собой независимые и одинаково распределенные случайные ве­личины.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяется среднее выборочное?

2. В чем сущность среднего арифметического?

3. По каким формулам рассчитывается выборочное среднее?

4. Какие выборочные характеристики являются мерами рас­сеивания выборки относительно выборочного среднего?

5. Как определяется выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение?

6. В чем особенность среднего квадратического отклонения?

7. По каким формулам рассчитываются выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение?

8. Какую величину называют исправленным средним квадратическим отклонением?

9. Как рассчитываются выборочные начальные и центральные моменты?

10. Что такое размах выборки?

11. Как определяется и находится мода выборки?

12. Как определяется медиана выборки?

13. Как вычисляется медиана выборки?

14. Сформулировать важное свойство медианы.

15. Что такое выборочный коэффици­ент вариации?

16. По какой формуле рассчитываются выборочные коэффи­циенты асимметрии и эксцесса?