Модуль 1. Анализ вариационных рядов

1.1. Генеральная совокупность. Выборочный метод. Графическое и табличное представление данных Опорный конспект

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов произвольной природы, обладающих признаками, доступными для наблюдения и количественного измерения.

Например, в случае социально-экономических иссле-дований это может быть население какого-то города, региона или страны, а измеряемыми признаками – доходы, расходы или объем сбере­жений отдельно взятого человека. Если какой-то признак имеет качественный характер (например, пол, национальность, соци­альное положение, род деятельности и т.п.), но принадлежит к конечному множеству вариантов, он может быть также закодиро­ван числом (как это часто делают в анкетах).

Объекты, входящие в генеральную совокупность, называют­ся ее элементами, а их общее число N – ее объемом.

Однако, получение экспериментальных данных достаточно трудоемкий, дорогой процесс, а в некоторых случаях и просто невозможный. Поэто­му из всей генеральной совокупности приходится выбирать только опреде­ленную часть объектов, которую называют выборочной совокупностью или выборкой объема n.

Предположим, что над случайной величиной производится ряд неза­висимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов случайная величи­на принимает определенное значение: Совокупность этих зна­чении рассматри-вается как простая выборка.

Наблюдаемое значение называют вариантой, а их последовательность, записанную в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Для каждой варианты можно указать частоту ее появления, которую обознача­ют . Также может быть найдена относительная частота появления оп­ределенной варианты, как отношение частоты к объему выборки:

Сумма всех относительных частот должна быть равна единице. Не трудно заметить, что относительная частота имеет смысл статистической вероятности.

Статистическим распределением или статистическим рядом на­зывают соответствие вариант и их частот (табл. 1.1) или относительных час­тот (табл. 1.2).

Таблица 1.1

Таблица 1.2

При большом числе наблюдении статистический ряд перестает быть удобной формой записи статистического материала – он становится громозд­ким и мало наглядным. Для придания ему большей компактности и нагляд­ности строится так называемый интервальный статистический ряд. В этом случае весь диапазон наблюдаемых значений разделяется на интерва­лы и подсчитывается количество значений приходящееся на каждый ин­тервал (табл. 1.3).

Таблица 1.3

Границы ин­тервалов

Длину интервала – h – проще выбирать одинаковой. Практика показы­вает, что число интервалов рационально выбирать порядка 7-20. Для нахож­дения длины интервала можно воспользоваться формулой Стерджеса:

(1.1)

Если в результате вычисления по формуле (1.1) длина интервала по­лучится дробным числом, то выбирают, либо близкое целое число, либо близ­кую простую дробью.

Статистический ряд представляет собой первичную форму записи ста­тистического материала и может быть обработан различными способами. Одним из способов такой обработки является построение эмпирической функции распределения случайной величины. Обозначим через число на­блюдений, при которых значения вариант оказываются меньше, чем х.

Эм­пирической (статистической) функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения х относительную частоту события {X < x}:

(1.2)

Для того, чтобы найти значение эмпирической функции распределения при данном достаточно подсчитать число опытов, в которых величина приняла значение меньше, чем и разделить на общее число произведенных опытов n.

Графически статистический ряд можно представить в виде полигона частот или относительных частот. Полигоном частот или относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки соответственно Полигоны обычно служат для изображения выборки в случае дискретных случайных величин (рис. 1.1):

Рис. 1.1

Интервальный статистический ряд часто оформляется графически в виде гистограммы. Гистограммой называется ступенчатая фигура (рис.1.2), состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат от­резки, равные длине интервала, а высотами являются относительные часто­ты, поделенные на длину интервала. Гистограмма обычно служат для изображения выборки в случае непрерывных случайных величин. Площадь гистограммы равна единице. Если на гистограмме соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная ломаная образует полигон относительных частот.

Рис. 1.2