Лекция 2. Проективные реперы на прямой и плоскости. Уравнение прямой на проективной плоскости §3. Проективные координаты

Пусть – (n+1)-мерное векторное пространство. Два базиса иназываютсягомотетичными, если существует число, отличное от нуля, такое, что,.

Проективным репером проективного пространстваP называется множество всех гомотетичных между собой базисов векторного пространства.

Если проективный репер представляет собой множество всех базисов, гомотетичных базису , то будем это записывать так.

Проективными координатами точки относительно проективного репера называются координаты вектора , порождающего эту точку, в одном из гомотетичных базисов репера:

, ).

Пусть и . Тогдаиотносительно одного и того же проективного репера. Учитывая, что, получаеми, то есть проективные координаты точки относительно проективного репера определяются с точностью до общего множителя, отличного от нуля.

Отметим, что не существует точки с нулевыми проективными координатами, так как точки проективного пространства порождаются только ненулевыми векторами.

Пусть задан проективный репер . Тогда имеем упорядоченную систему точек. Но эта система точек не определяет репер, так как эти точки могут порождаться векторами, образующими базис, не гомотетичный базису , то есть определяющими другой проективный репер.

Рассмотрим единичную точку, порождаемую вектором – суммой всех векторов базиса. Ясно, что для всех гомотетичных базисов точкаодна и та же.

Таким образом, имеем упорядоченную систему точек. Можно доказать, что это будутточки общего положения, то есть никакие из них не лежат в пространстве размерности меньше. Так в случае проективной прямойимеем три точки общего положения, то есть никакие две из них не совпадают. В случае проективной плоскостиимеем четыре точки общего положения, то есть никакие три из них не лежат на одной прямой.

Т е о р е м а 1. (О задании проективного репера упорядоченной системой точек общего положения). Если – упорядоченная систематочек общего положения, то существует единственный проективный репер такой, что,.

Итак, на проективной прямой репер определяется упорядоченной тройкой точек , на проективной плоскости – упорядоченной четверкой точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

З а д а ч а 1. Построить точку по ее координатам в заданном реперена расширенной прямой.

З а д а ч а 2. На расширенной прямой даны точки. Построить единичную точкупроективного репера, относительно которого несобственная точкапрямойимеет координаты (-1,2).

§4. Однородные аффинные координаты

Рассмотрим на расширенной прямой частный случай проективного репера.

Возьмем точку и пучок прямых Пна евклидовой плоскости. Разложим векторпо направлениям прямойи прямой пучка, параллельной. Получим векторыи, порождающие точки. Векторысогласованы (по построению). Следовательно, данный проективный реперможно задать базисом.

Каждая точка расширенной прямой будет иметь относительно репера координаты, которые являются координатами направляющего векторапрямой.

Несобственная точка порождается вектороми, следовательно, имеет координаты (0,1).

Для всех остальных точек прямойкоординатабудет отлична от нуля. Имеем, то естьимеет в реперекоординаты, где– абсцисса точкив аффинной системе координатна прямой. Так как проективные координаты точки определяются с точностью до общего множителя, то имеем или.

Итак, относительно репера :

1. Несобственная точка имеет координаты , где– любое действительное число, не равное нулю.

2. Для каждой собственной точки координатаотлична от нуля и– аффинная координата точки в репере на прямой.

Проективные координаты точек прямой относительно репераназываютоднородными аффинными координатами.