Лекция 2.-мерное евклидово (точечное) пространство §7. Евклидово векторное пространство

Заметим, что в аффинном пространстве мы не определили понятие расстояния, понятие величины угла. В геометрическом пространстве, рассматриваемом в школьном курсе геометрии, эти понятия существуют и с их помощью были определены понятие длины свободного вектора, угла между свободными векторами. Это позволило определить скалярное произведение векторов (паре векторов ставится в соответствие число, то есть задано отображение ) и показать выполнение следующих законов:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Эти наблюдения позволяют прийти к следующим обобщениям

О п р е д е л е н и е. -мерное векторное пространствоназываетсяевклидовым -мерным векторным пространством, если на нем задано скалярное умножение векторов, то есть задано отображение , удовлетворяющее свойствам

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Свойства евклидова векторного пространства:

1. Так как , то можно определитьдлину вектора . Очевидно,.

2. Если , то.

3. Если , то векторимеет длину 1 и называетсяортом вектора .

4. Для ненулевых векторов ивыполняется неравенство Коши-Буняковского.

Число такое, чтоназовемуглом между ненулевыми векторами и .

Ненулевые векторы назовем ортогональными, если угол между ними равен . Нулевой вектор будем считать ортогональным любому вектору. Таким образом, условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

5. В евклидовом векторном пространстве существует ортогональный базис.

6. В евклидовом векторном пространстве существует ортонормированный базис. Таких базисов бесконечно много.

З а м е ч а н и е. Если в векторном пространстве над полем действительных чисел задать базис, то можно определить скалярное произведение двух векторов как сумму произведений соответствующих координат этих векторов. Таким образом, любое векторное пространство над полем действительных чисел можно сделать евклидовым векторным пространством.

§8. Евклидово -мерное точечное пространство

О п р е д е л е н и е. Аффинное -мерное пространство, пространство переносов которого является евклидовым векторным пространством, называетсяевклидовым -мерным точечным пространством.

То, что пространство переносов является евклидовым векторны пространством, позволяет

1. Использовать прямоугольную систему координат.

2. Определить расстояние между точками .

3. Доказать, что для любых трех точек

и .

4. Определить меру угла, доказать теорему косинусов, теорему Пифагора, определить прямоугольный параллелепипед, куб, сферу.

Раздел VI. Проективная геометрия Лекция 1.Проективное n-мерное пространство. Модели проективной прямой и плоскости

Изучение в педагогическом вузе вопросов проективной геометрии преследует следующие цели:

− дать пример построения теории на основе аксиом синтетическим и аналитическим методами;

− продемонстрировать одно из лучших достижений математики в XIX столетии – теоретико-групповой подход к определению геометрии;

− подготовить студентов к изучению неевклидовых геометрий;

− показать значение проективных методов в решении задач элементарной геометрии;

− подготовить будущих учителей математики к первоначальному ознакомлению учащихся с предметом проективной геометрии.