5. Литература
Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. М.: Машиностроение, 1980, С.26-32.
6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое желательность параметра оптимизации и в каких пределах она может меняться?
2. Что показывает обобщенная функция желательности?
3. Что означают следующие уровни желательности: d=0.37; d=1; d=0v
4. Что такое реперные точки и как они задаются?
5. В каком случае выше значение обобщенной функции желательности, рассчитанной по четырем показателям: при среднем уровне всех свойств (около заданного) или при очень высоким уровне трех показателей (d=0.9-1) и низком значении четвертого (d=0.001).
6. Что такое двусторонние и односторонние ограничения параметра оптимизации?
7. Чем руководствуются при выборе реперных точек?
На основе каких исходных данных определяют значение обобщенной функции желательности?
а
б
Рис.3.1. Функция желательности для односторонних (а) и двухсторонних (б) ограничений
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N4
ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЗАВИСИМОСТЕЙ СОСТАВ-СВОЙСТВО МЕТОДОМ СИМПЛЕКСНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
(4 ч)
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Освоить метод симплекс- п ланирования для построения математических моделей состав-свойство многокомпонентных систем.
Ознакомится с компьютерной программой "СИМПЛЕКС" для решения различных задач, связанных с симплекс-планированием.
2. Теоретическое введение
Симплекс- простейшая выпуклая геометрическая форма, образованная множеством q точек в (q-1)- мерном пространстве и обладающая минимальном количеством вершин. Симплекс является правильным, если расстояния между всеми его вершинами равны. Треугольник - двумерный симплекс, тетраэдр -трехмерный, (q-1)-мерный симплекс задает состав q-мерной системы, в частности составы тройных сплавов задают с помощью треугольника, а четверных - с помощью тетраэдра, поэтому использование симплексов для изучения зависимостей состав-свойство в соответствующих системах представляется естественным.
Наиболее простые и распространенные - симплекс-решетчатые планы, в которых экспериментальные точки располагаются симметрично по симплексу (рис.4.1). По результатам определения изучаемого параметра оптимизации (Y) в точках симплекса q-мерной системы строят математические модели зависимости Y=f?X ,X ...X ) в виде
полиномов различной степени.
Для тройной системы A-B-C данные модели имеют следующий вид:
полная 2-ая степень - 6 опытов (рис.4.1а)
Y=1 X1+ 2 X2 +3 X3+ 12 X1X2 +13 X1X3 + 23 X2X3 (4.1)
неполная 3-ая степень - 7 опытов (рис.4.1б)
Y=1 X1+ 2 X2 +3 X3+ 12 X1X2 +13 X1X3 + 23 X2X3 + 123 X1X2X3 (4.2)
полная 3-ая степень- 10 опытов (рис.4.1в)
Y=1 X1+ 2 X2 +3 X3+ 12 X1X2 +13 X1X3 + 23 X2X3 + 123 X1X2X3+12 X1X2 (X1-X2) +13 X1X3 (X1-X3)+ 23 X2X3 (X2-X3) (4.3)
неполная 4-ая степень- 9 опытов (рис.4.1г)
Y=1 X1+ 2 X2 +3 X3+ 12 X1X2 +13 X1X3 + 23 X2X3+1 X12 X2 X3 +2 X22 X1 X3 +
+3 X32 X1 X2 (4.4)
полная 4-ая степень- 15 опытов (рис.4.1е)
Y=1 X1+ 2 X2 +3 X3+ 12 X1X2 +13 X1X3 + 23 X2X3 +1 X12 X2 X3 +2 X22 X1 X3 +
3 X32 X1 X2 +12 X2) +13 X1X3 (X1-X3)+ 23 X2X3 (X2-X3) +12 X1X2 (X1-X2)2 +
13 X1X3 (X1-X3)2+ 23 X2X3 (X2-X3)2 (4.5)
где X1 ,X2 ,X3 - концентрации компонентов A,B,C в долях от единицы
(X1 +X2 +X3) =1),
i , ij......- коэффициенты моделей, которые необходимо рассчитать по экспериментальным данным;
Степень модели выбирают исходя из предполагаемой зависимости параметра оптимизации: чем более сложна ожидаемая зависимость - тем выше степень модели.
Данные планы являются полностью насыщенными, т.е число опытов в них полностью соответствует числу определяемых коэффициентов, поэтому существуют однозначные соотношения между экспериментальными значениями Y и коэффициентами. Чем выше степень модели, тем больше требуется экспериментальных точек для ее построения (расположение экспериментальных точек показано на рис.4.1) . Если для моделей второй степени расчет коэффициентов относительно простой и может быть легко выполнен вручную (i =Yi ; ij =4Yij -2Yi -2Yj ), то в моделях более высоких степеней расчетные формулы заметно сложнее (приложение 4), что требует использования ЭВМ.
После расчета коэффициентов оценивают адекватность модели, т.е. проверяют, насколько точно рассчитанные значения Y (по уравнениям 4.1-4.5) будут соответствовать истинным. Для этого необходимо знать дисперсию опыта S . Эта дисперсия может быть известна из предыдущих работ или определена экспериментальным путем (дублированием эксперимента в отдельных или во всех точках). Далее ставят контрольные опыты (эти опыты можно сделать вместе с основным экспериментом) между точками симплекса, определяют дисперсию S , а затем по критериям Фишера (F) или Стьюдента (t) определяют адекватность модели для заданного уровня значимости (обычно 0.05 или 0.01). При использовании критерия Фишера расчетное значение F определяют по формуле:
F=Sост2 /Sy2 , (4.6)
где Sост - остаточная дисперсия (или дисперсия неадекватности),
которая рассчитывается по формуле:
Sост = V(yрасч - yэксп)2/L, (4.7)
где L - число контрольных опытов; yэксп ,yрасч - соответственно экспериментальное и расчетное значение параметра в i-том контрольном опыте.
Гипотеза об адекватности при выбранном уровне значимости не отвергается, если выполняется условие F<F , в противном случае необходимо перейти к более сложной модели, сделав дополнительные опыты.
При использовании критерия Стьюдента расчетное значение t
определяют по формуле:
t= (y -y )/V (S +S ), (4.8)
где S - дисперсия для i-контрольного опыта.
Гипотеза об адекватности модели не отвергается, если для всех контрольных точек выполняется условие t<t . Данные методы оценки адекватности моделей являются приблизительными, поскольку предсказываемые значения Y коррелируют между собой. Однако, для практического использования более точные оценки как правило не требуются.
При выборе контрольных точек обычно исходят из возможности их использования для построения моделей более высоких степеней, если построенная модель окажется неадекватной. Например, контрольные опыты для проверки адекватности модели второй степени целесообразно ставить в точках, которые соответствуют плану для модели неполной четвертой степени (рис.4.1а,в).
В случае адекватной модели (F<Fкр и t<tкр) можно рассчитывать значения параметра оптимизации Y для любого сплава системы A-B-C. Поскольку ручной расчет по формулам (4.1-4.5) достаточно трудоемок необходимость использовать ЭВМ очевидна. Для более наглядного представления о виде математических моделей обычно строят их графические иллюстрации в виде линий равных значений, что также требует применения ЭВМ. При этом более удобно представлять симплекс в виде прямоугольного треугольника, т.к. в этом случае облегчается визуальная оценка состава, соответствующего данной точке. В качестве примера на рис.4.2 приведены линии равных значений вязкости разрушения (К1с) в зависимости от состава для сплавов системы Al-Mg-Zn в закаленном и состаренном состоянии. При
работе с цветным монитором вместо изолиний удобно использовать разные цвета, которые соответствуют заданным диапазонам параметра оптимизации.
Рассмотренные зависимости можно строить не для всей системы, а только для ее части, ограниченной любым треугольником. В этом случае необходимо перевести истинные концентрации в кодовые значения, исходя из того что вершины этого треугольника представляют собой псевдокомпоненты, т.е. значение одной кодовой концентрации равно 1, а остальных 0. Например, если в системе A-B- C ограничиться областью A-10%B-10%C, то 1-ой вершиной останется компонент A (X1=1), а 2-ой и 3-ей - будут сплавы A-10%B (X2=1) и A-10%C (X3=1). В этом случае состав сплава A-5%B-2%C будет иметь следующее кодовое обозначение: X1=0.3; X2=0.5; X3=0.2.
Двумерный симплекс, т.е. треугольник, можно использовать и для построения математических моделей многокомпонентных систем, если все концентрации свыше 3-х находятся на постоянном уровне. Например, составы сплавов пятикомпонентой системы A-B-C-D-E, содержащих постоянные концентрации D и E (5 и 10% соответственно) и переменные концентрации B и C (до 30 и 20 % соответственно) можно изобразить на треугольнике с вершинами: 1- A-5%D-10%E; 2- A-5%D-10%E-30%B; 3- A-5%D-10%E-20%C.