12. Функция распределения случайной величины. Свойства

Пусть задано вероятностное пространство , .

Определение. Случайной величиной ξ называется такая числовая функция , что .

Свойства функции распределения

1. Монотонность ,

Доказательство.

(2)

Так как всегда , то из (2) F(x₁) ≤ F(x₂).

2.

3. ,

Доказательство. Возьмем числовые последовательности

,

Пусть

, тогда

Очевидно

Согласно аксиоме Колмогорова

(3)

Или

=

=

Последнее справедливо, если , .

4. Непрерывность слева.

13. Функция распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины

Пусть - дискретная случайная величина с возможными значениями

и вероятностями этих значений , k = 1,2,…,n.

(4)

(4) – условие нормировки вероятностей.

По определению функции распределения

(5)

Ряд распределения

x1	x2	…	xn
p1	p2	...	pn

14. Плотность распределения непрерывной случайной величины, свойства

Определение. Плотностью распределения непрерывной случайной величины ξ с функцией распределения называется такая интегрируемая функция , что для любых имеет место

(6)

Свойства плотности распределения

1. ,

Действительно

2.

Действительно

3.

Действительно

Пусть существует такое В, что для

Тогда

. Но .

Полученное противоречие доказывает свойство (3).

15. Функция распределения, плотность вероятностей многомерной случайной величины. Независимость случайных величин.

Пусть на вероятностном пространстве заданы случайные величины

, .

Определение. n- мерной случайной величиной называется вектор

Определение. Функцией распределения случайного вектора называется функция

, (1)

1. Монотонность по каждому аргументу.

,

2. Непрерывность слева по каждому аргументу.

,

3.

,

4.

Определение. Плотностью распределения (плотностью вероятностей) случайного вектора называется такая интегрируемая функция , для которой имеет место

(2)

(3)

Свойства плотности вероятностей

1.

2. - условие нормировки

3.

4.

Определение. Случайные величины называются независимыми, если для любых

, , k = 2,3,…, n

имеет место

(4)

В частности из (4)

то есть

(5)

Из (5)

(6)

Следовательно, для независимых случайных величин

(7)

Если - дискретная случайная величина и компоненты независимы, то

(8)