6. Формула полной вероятности, условия применимости

Пусть случайные события несовместны и образуют полную группу событий

ø,

, ,

Тогда

и

(1)

1. – формула полной вероятности.

7. Формула Байеса.

8. Схема испытаний Бернули, формула Бернули

Определение. Схемой испытаний Бернулли называется последовательность n независимых испытаний с двумя исходами 0,1, такая, что для элементов ω пространства элементарных событий Ω имеет место

, , ,

,

где - число «1» в векторе ω.

Исход испытания «1» - успех, исход испытания «0» - неудача.

Теорема. Пусть - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда

, m = 0,1,…,n (1)

Доказательство.

- число слагаемых в сумме (число способов выбрать среди n мест ровно m мест, где будут стоять «1»).

Имеем

(2)

(1) – формула Бернулли или биномиальный закон распределения.

(2) - свойство нормировки вероятностей .

(3)

9. Схема испытаний Бернули. Формула Пуассона

Теорема Пуассона. Пусть m - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p. Если , так, что , то

(4)

Доказательство.

=

(5)

, ,

,

Тогда из (5)

10. Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа

Локальная предельная теорема Муавра – Лапласа. Пусть m - число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p,(). Если , , то для всех из конечного интервала имеет место

(6)

То есть при n>>1, m>>1

(7)

Если , то

11. Интегральная предельная теорема

Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа. Пусть имеется схема n испытаний Бернулли c вероятностью успеха p, (). Пусть m- число успехов, q=1-p, a<b. Тогда

(8)

Если

- Ф-функция. (9)

то

(10)

(11)

Свойства функции :

, ,

Действительно

=

Наряду с функцией (9) в практике нашла применение функция

(12)

Очевидно,

Функции , табулированы.