1.10Распрямление поверхности.
Тут докажем утверждение.
Пусть → - замена переменных. Поверхность становится плоской.
Пусть * |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
* |
|||
|
: ( ) = 0, |
|
; |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в окрестности точки |
|
||||||
|
|
|
|
|
. Рассмотрим преобразования |
|
|||||||||||||
Пусть |
|
|
|
( *) = 0 |
(иначе перенумеруем координатные оси). |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
̸ |
|
|
|||||||||||||
Замена: |
:= , |
[1 : − 1]; |
= |
( ) - это значит, что поверхность в новых |
|||||||||||||||
переменных : = 0 - уравнение плоскости. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Проверим невырожденность замены: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1.. |
|
...... |
|
0 |
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
′( ) = |
0. |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
= det ′ |
|
= ( *) ̸= 0 |
||||||
|
|
. . . |
|
1 |
|
0. |
|
* |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. . . |
−1 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
Получаем неворожденность и локальную обратимость преобразования.
|
|
|
1. 1-ое условие: |
= |
= |
|
̃ |
̃ |
=0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. 2-ое условие: ∂∂ |
|
= |
∑ |
= ( , ). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
= ∂∂ ( ( + )) =0 = |
=1 · ( + ) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Было: = |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:= ′ |
. |
′ |
- не ортогонально ( |
′−1 = ′ |
). |
|
|
|
|||||||
̃ |
|
̸ |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если - не касательная, то и - не касательная, поскольку не вырождено.
∂ |
= |
∂ |
= . |
|
замене ( |
|
(2)): |
∂ |
|
̃ |
̃ |
Т.о., при |
̃ |
|
|
|
∂ |
|
|
||||
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
= ( |
|
|
|
=1 |
|||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
̃ |
|
* = 0; |
* |
|
* = 0 |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
= |
|
−1 |
|
|
|
|
=1 |
|
||
|
|
∂ |
||||
|
|
|
|
|
∑ |
= |
|
|
|
|
|
|
̃ |
̃
−1 |
+ |
) =0 |
= |
=1 |
|||
∑ |
̃ |
|
̃ |
̃ ̃ |
̃ |
̃ |
+ ̃ |
= ̃ (второе условие) |
|
̃ |
|
18
∂ : =0 = |
( ) , если < . |
|||||||||
|
∂ |
|
|
̃ |
|
|
|
|
||
|
Если ̃ |
= 0, то |
|
|
|
|
||||
|
∂ |
̃ |
̸ |
|
∂ |
=0 = |
1 |
( − |
||
|
∂ |
=0 = |
|
∂ |
|
|
||||
|
̃ |
|
|
̃ |
|
̃ |
|
|
|
̃ |
|
̃ |
|
|
|
|
̃ |
||||
|
|
|
= |
|
∂ |
= |
|
||
|
∂ |
|
||
|
|
|
||
( - не |
касательный) |
|||
|
|
|
|
|
|
̃ |
̃ |
|
|
|
|
∑ |
|
(т.е. заменили второе условие) |
||||
|
|
) |
||||
=1 |
|
∂ |
|
|
||
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
∂ |
|
= |
* |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом получили, что задание 1 эквивалентно заданию 2, и доказали утверждение.
Как выделить время (переменную) в общем случае? Им станет .
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|||
|
|
|
Замена: |
|
|
|
|
= |
|
|||
= |
|
|
̃ =0 |
̃ |
||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
→ |
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∂ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
* |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
̃ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.11Вычисление производных на .
=0 |
= |
|
||
|
=0 |
= ( ) |
||
̃ |
|
|
̃ |
|
|
|
|
= |
* |
̃ |
|
=0 |
|
̃ |
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
= ( ) |
( , < ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( *) |
( < ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
=0 |
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= =0 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= |
+ 2 =1 |
+ |
, =1 + |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
̃ |
|
̃ |
|
|
|
̃ |
̃ |
|
|
∑ |
|
|
известно |
∑ |
̃ |
изв-но |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
̃ |
|
|
|
1 |
̃ |
̃ |
|
̃ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
изв-но |
=1 |
изв-но |
|
|
|
изв-но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ ̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распишем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
=0 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ( , *, |
|
|
|
* |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
|
) = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= * |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂ |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
̃ |
|
|
|
|
̃ |
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
||
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̃ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Результат: если ̃ ( *) = 0, то получаем равенство на известные величины.
19
Для существования 2-решения задачи Коши необходимо, чтобы в точке * выполнялось условие согласования: (. . . ) = ̃( *).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )( ) = |
|
∑ |
|
|
( ) |
|
+ |
∑ |
|
( ) |
|
+ = |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
, =1 |
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: = − 1; |
|
= ; |
|
∂ |
= ; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∂ |
|
|
||||||||||||||||||
Замена: |
|
|
, |
|
= 0, |
“x” |
|
|
“y”, |
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
→ |
|
|
||||||
|
|
|
→: ̃ = |
|
( ) |
∂ |
|
∂ |
|
̃ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
̃ |
|
|
̃ |
|
∑, |
|
|
|
|
∂ |
∂ |
|
|
|||||||
|
→ |
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=0 ̸= 0; |
|
|
= 0 = ( *) = ( , , |
, |
, 2 ) |
|
|||||||||||||||||
|
: ( ) = 0; |
|
= 0; |
|
|
= 0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= , |
[1 : − 1]; |
|
= ( ). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
̃ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вспомним: = ( 1 , 2 , . . . , |
) - нормаль к . Почему? |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Рассмотрим ( ) - кривую на . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( ) ≡ 0 (= |
|
( ) ≡ 0). |
|
|
= 0 ( , ) = 0. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение : поверхность |
называется |
характеристической для |
в |
точке *, |
|||||||||||||||||||
если |
|
* = 0. |
= ( 1, 2, . . . , ) - нормаль к в точке *. |
|
|||||||
|
,∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑, |
= 0 - уравнение характеристики. |
|
||||
|
|
: ( ) = 0; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Доказали следующую теорему: |
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема. |
|
- характеристическая в точке |
* |
для |
|
= |
для существования |
(2) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
решения задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∂ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
необходимо, чтобы в точке * выполнялись условия согласования.
20
Примеры:
1. Лаплас.
= − |
= { |
1, = |
= |
0, = |
|||
|
|
̸ |
|
|
|
|
|
∑ |
∑ |
= 0 | |2 = 0 |
|
= |
2 |
||
=1 |
=1 |
|
|
- эллиптический оператор = характеристических поверхностей нет.
2.Уравнение теплопроводности.
|
= − 2 ; |
|
|
0 |
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
→( , ); |
|
= ( ) = |
|
0 |
|
−0 |
|
... |
0 |
|
|
||||
|
: ( , ) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( , 1 , 2 , . . . , |
|
|
( , |
) = 0 − 2 |
∑ |
||||||||||
|
) |
|
|
2 = 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
||
- равенство есть на всей (т.к. на : ( ) = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
≡ 0. |
= ( , ) = ( ) = 0. |
: = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 0 - тогда есть характеристическая поверхность. |
|
|
=0 = . |
|
|
|
|
|||||||||
|
− 2 = ; |
|
=0 = ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( )( ) = |
( ) + |
|
|
( ) |
+ = |
||||||||||
|
, =1 |
|
|
=1 |
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( − 2 ) =0 = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 ( =0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + |
=0 = |
|
|
|
|
21
3. Волновое уравнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
= − 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ( ) = |
|
0 |
|
−0 ... |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , |
) = 2 − 2 |
∑ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 = 0 |
|
|
|
|
|||||
=1
Хотим рассмотреть характеристические плоскости:
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
( , ) = + |
+ = 0 |
||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
2 − 2 |
∑ |
|
| | = | |. |
2 = 0; |
|||
=1
Плоскость = 0 - не характеристическая. = 0, = 1
Если в точке ( *, *) касательная плоскость характеристическая, то - характеристическая.
Например: | | = 1, = - всегда характеристическая плоскость. Вращая , получим конус и касательные плоскости.
=
R , R | − *| = | − *|
( , ) = | − *|2 − 2| − *|2 = 0
1.12Теорема Коши-Ковалевской.
Рассмотрим задачу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
|
=0 = |
|
=0 = |
|
|||||||
|
* |
= + ( , |
|
, |
|
|
2 |
|
|
* |
* : * = 0 |
|||||
|
, |
|
, |
) = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
|
|
не характеристическая. |
|
|
|
|
|
|||||||
= 0 - поверхность |
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
|
= ( , , |
|
, |
|
, |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22