Глава 4

Гармонические функции

Будем рассматривать уравнение Лапласа.

| |

4.1Формулы Грина.

38

– вторая формула Грина

4.2Фундаментальное решение оператора Лапласа.

≥ 3 : ( ) = −02 + 1

= 2 : ( ) = 0 ln + 1

Определение: фундаментальное решение оператора Лапласа –

39

Свойства:

1.( ) = (| |) ∞(R {0})

2.= 0, ̸= 0 – удовлетворяет уравнению Лапласа.

3.≥ 3 - у есть правильное поведение на ∞

= 2 - правильного поведения нет!!

Фундаментальное решение существует для любого дифференцируемого оператора.

4.3Интегральное представление функций класса (2).

- формула интегрального представления.

Потенциал - работа, которую надо совершить, чтобы перенести заряд из бесконечности

Ω

Двойной слой: - плотность на +

Распределение зарядов - дипольный момент. Размазываем по поверхности диполи.

40

41

Аналогия: если функция дифференцируема в комплексном смысле один раз, то она

имеет все комплексные производные. Гармонические функции бесконечно дифференцируемы.

Доказательство. (∞)( ) шара (∞)( ).

Если функция бесконечно гладкая в любом шаре из области, то она бесконечно гладкая во всей области. Поэтому докажем для шаров.

:= ∂ . , ∂ = | − | > 0

∫

( ) = ( , ) ( ) ( ) (из интегрального представления).

(∞)

Определение: Пусть ( ); носитель u: = { ( ) ̸= 0}

– гладкая финитная функция ( 0(∞)( )), если (∞)( ) и - компакт. Свойство гладких финитных функций :

0(∞)( ) = > 0 : ( , ∂ ) < = ( ) = 0 (поскольку - компакт)

Следствие 2. - обл в R , 0(∞)( ). Тогда

∫

( ) = − ( − ) ( )

Ω

Плохая область с плохим носителем. Однако, если > 0 : - шарик фиксированного радиуса такой, что можно провести шарик между этими

плохими участками, то можно построить и гладкую поверхность.0(∞)( ) = ̃( ) : ̃ (для каждой своя ̃).

42

Упражнение : Пусть - компакт в R = ( ) (∞)(R ): = 0; ( ) > 0, / .

(Прямая) теорема о среднем. - обл в R ; (2)( ); = 0 в = = верна формула среднего:

Доказательство. (Теоремы). Формула интегрирования представляется в , (2)( ).

Пусть знаем ( ) = - значения на границе. Хотим узнать значение в какой-то точке

внутри области.

Метод случайных блужданий по сферам: Берем точку , случано на сферу вокруг нее бросаем новую точку. Значение в последней точке будет такое же, поскольку точку берем случайно, а на внутренней – среднее по сфере значение, на внешней – с некой вероятностью. Далее повторяем, пока не выйдем в окрестность границы, значение на которой знаем. Процесс сходится, и это проще, чем решать огромные системы уравнений.

Запускаем несколько раз и берем среднее от полученных значений.

43