- •Глава 2. Прямые и плоскости §1.Уравнение кривой и поверхности.
- •§2. Уравнение прямой на плоскости.
- •§3. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
- •§4. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
- •§5. Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
- •§6. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
- •§7. Уравнение прямой в пространстве.
- •§11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •§12. Примеры решения задач.
- •Аналогично m3(–1,–3).
- •Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на 4:
- •Точка d делит отрезок bc пополам. Поэтому
- •Отсюда находим
Глава 2. Прямые и плоскости §1.Уравнение кривой и поверхности.
Определение. Пусть – некоторая кривая на плоскости, а (x, y) – функция двух переменных. Говорим, что уравнение
(x, y) = 0 (1)
есть уравнение кривой в неявном виде, если координаты любой точки M удовлетворяют (1), и обратно, каждая пара чисел (x, y), удовлетворяющих (1), задает точку M(x, y) на кривой.
Подчеркнем, что при составлении уравнений следствие обязательно надо проверять в обе стороны.
Пример. Составим уравнение окружности радиуса R с центром в точке O(a, b). Пусть M(x, y) – произвольная точка окружности . Тогда
R=|OM|=
(x – a)2 + (y – b)2 = R 2. (2)
Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (2), то |OM|=R, а значит, M. Таким образом (2) и есть уравнение нашей окружности.
Если из уравнения (1) удается выразить одну координату через другую, то получим уравнение в явном виде:
y = f (x), (3)
Не всегда удается привести неявное уравнение кривой к явному виду. В каком случае это возможно гласит теорема о неявной функции, изучаемая в курсе математического анализа. Например, с уравнением окружности это сделать нельзя.
Предположим, что точка движется по кривой. Тогда её координаты изменяются со временем:
(4)
При этом параметр t изменяется в определенных пределах: tI, где I – интервал числовой прямой. Говорим, что (4) есть параметрические уравнения кривой , если точка M(x, y) лежит на кривой тогда и только тогда, когда найдется такое tI, что будут выполнены оба равенства (4) одновременно. При этом, обязательно к системе (4) надо добавлять интервал изменения параметра. Физический смысл параметра в (4) не всегда время.
Пример 2. Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат имеют вид:
(5)
Не важно, что для одной и той же точкиможет найтись несколько (или даже бесконечно много) соответствующих ей значений параметра. Это не запрещается.
Пример 3. Уравнения
задают полукубическую параболу. Уравнения
(*)
тоже задают полукубическую параболу, но не всю, а только её верхнюю половину. Для точки M, лежащей ниже оси Ox, не найдется такого t, для которого выполнено (*).
Определение. Пусть – некоторая поверхность в пространстве, а F(x, y, z) – функция от трех переменных. Говорим, что
F(x, y, z) = 0 (6)
есть уравнение поверхности в неявном виде, если координаты любой точки M удовлетворяют (6), и обратно, каждая тройка (x, y, z) чисел, удовлетворяющих (6), задает точку M(x, y, z) на поверхности.
Так же, как и для кривой, при составлении уравнения поверхности, необходимо проверять следствие в обе стороны.
Упражнение. Самостоятельно докажите, что сфера радиуса R с центром в точке O(a, b, с) задается уравнением
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2. (7)
Если из уравнения (6) удается выразить одну переменную через две другие, то получим уравнение поверхности в явном виде: z=f(x, y). Вопрос, когда это возможно сделать, изучается в курсе математического анализа. Уравнение сферы невозможно переписать в явном виде.
Если уравнения двух множеств объединить вместе, то получится система из двух уравнений, которая задаёт их пересечение.
Пример4. Система уравнений
задает окружность в плоскости Oxy. Первое уравнение системы задает сферу с центром в начале координат, а второе – плоскость Oxy. Их пересечение есть окружность . Если подставить z = 0 в первое уравнение, то получим
x2 + y2 = R 2. (* * )
Казалось бы, можно сказать, что это и есть уравнение окружности . Но это не так. Уравнение (**) задает цилиндрическую поверхность (см. параграф «цилиндрические и конические поверхности»). Подставляя z=0 в первое уравнение системы, нельзя при этом отбрасывать само уравнение z=0.