- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
12. Аксонометрия. Изображение точек.
Пусть R ; ¯ = {O; ¯, E1;¯, E2;¯, E3;¯} – аффинный репер в пространстве. Пусть e1;\s\up8(( = \O(O; ¯, e2;\s\up8(( = \O(O; ¯, e3;\s\up8(( = \O(O; ¯. Пусть M; ¯ – произвольная точка в пространстве с координатами (x1, x2, x3). Это означает, что
\O(O; ¯= x1e1;\s\up8(( + x2e2;\s\up8(( + x3e3;\s\up8(( .
Пусть M3;¯ – проекция точки M; ¯ на координатную плоск. O; ¯E1;¯E2;¯ параллельно вектору e3;\s\up8(( , а Mo;¯ – проекция точки M3;¯ на ось Ox параллельно вектору e2;\s\up8(( . Тогда ломаная O; ¯Mo;¯M3;¯M; ¯ наз.координатной ломаной точки M; ¯. Для её звеньев выполнено
|O; ¯Mo;¯|=|x1||O; ¯E1;¯|, |Mo;¯M3;¯|=|x2||O; ¯E2;¯|,
|O; ¯Mo;¯|=|x3||O; ¯|.
Выберем плоскость изображений и направление проецирования не параллельно координатным плоскостям. При аффинном отображении сохраняется соотношение отрезков, принадл-их параллельным прямым. Поэтому и на изображении выполняется
|OMo|=|x1||OE1|, |MoM3|=|x2||OE2|, |M3M|=|x3||OE3|.
Из этого вытекает следующее утверждение.
Если на плоскости дано изображение аффинного репера, то мы можем построить изображение M данной точки M; ¯ по её координатам. Если даны изображения аффинного репера и координатной ломаной, то мы можем определить координаты точки M; ¯.
Если мы умеем строить изображения точек в системе координат, то мы можем строить и изображение пространственных фигур. Этот метод называется методом аксонометрического проецирования. Точку наз. началом аксонометрической СК, а осиOE1, OE2, OE3 – аксонометрическими осями.
Пусть M1;¯, M2;¯ – проекции точки M на координатные плоскости O; ¯E3;¯ и O; ¯E1;¯E3;¯ соответственно параллельно координатным осям O; ¯E1;¯ и O; ¯E2;¯. Пусть M1, M2 – изображения этих точек. Тогда точка M называется аксонометрической проекцией точки M; ¯, а M1, M2, M3 называются её вторичными проекциями. Для того, чтобы определить координаты точки
M; ¯ по её изображению, достаточно иметь на чертеже её аксонометрическую проекцию и любую из вторичных. Но, если не оговорено, о какой вторичной проекции идёт речь, то предполагается, что это точка M3.
Вместо утвержд. «в пространстве дана точка M; ¯, аксонометрическая проекция которой есть M, а вторичная M3 будем говорить «дана точка(M, M3)».
Изобр-ие прямых и плоскостей в аксонометрической проекции.
Будем предполагать, что направление проецирования не параллельно рассматриваемым прямым и плоскостям. Тогда изображением прямой будет прямая, а изображение плоскости будет накрывать всю плоскость .
Прямая a;¯ на плоскости изображений задаётся двумя своими точками (M, M3) и (N, N3) или аксонометрической проекцией a и вторичной a3. Тогда говорим, что дана прямая (MN, M3N3) или прямая (a, a3). Если прямая a;¯ не параллельна оси O; ¯E3;¯, то её вторичная проекция есть прямая. Если a;¯ ||O; ¯E3;¯, то её вторичная проекция есть точка. В последнем случае, мы подписываем эту точку всё равно, как a3. Сама ось O; ¯E3;¯ задаётся на изображении как (OE3, O). Если прямая b;¯ лежит в плоскости O; ¯E1;¯E2;¯, то её аксонометрическая и вторичная проекции совпадают: b=b3.
Рассмотрим возможные варианты расположения двух прямых (a, a3) и (b, b3). Как у параллельных прямых, так и у пересекающихся, могут совпадать либо аксонометрические, либо вторичные проекции. Если совпадают и те и др, то совпадают и сами прямые.
Плоскость может быть задана тремя своими точками, либо двумя своими прямыми, либо прямой и не лежащей на ней точкой. Пусть p;¯ – прямая, по которой данная плоскость (;¯ пересекает координатную плоскость O; ¯E1;¯E2;¯, аp – её изображение. Тогда прямая p называется следом плоскости. Пусть P; ¯ – точка пересечения
плоскости (;¯ с координатной осью O; ¯E3;¯, (P, O) – её изображение. Наиболее удобным считается способ изображения плоскости именно с помощью этих элементов: следа p и точки (P, O). Можно также говорить о следах данной плоскости на других координатных плоскостях O; ¯E1;¯E3;¯ и O; ¯E2;¯E3;¯; на чертеже они изображены пунктиром. Но если не сказано, о каком следе идёт речь, то предполагается, что это след на плоскостиO; ¯E1;¯E2;¯.
Вар-ты расположения плоск, при которых 1из вышеупомянутых элемен. отсутствует.
Пусть прямая a;¯ пересекает координатную плоскость O; ¯E1;¯E2;¯ в точке X; ¯. Аксонометрическая и вторичная проекции этой точки совпадают – это точкаX. Точка X называется следом прямой a;¯. Если прямая a;¯ параллельна O; ¯E1;¯E2;¯, то след у неё будет отсутствовать. Можно также говорить о следах прямой на других координатных плоскостях. Если говорится просто «след прямой», то подразумевается, что след на плоскости O; ¯E1;¯E2;¯.
Ключом к решению зад на построение явл. следующее очевидное утвержд. Если прямая лежит на плоскости, то её след лежит на следе плоскости.