- •§2. Параллельное проецирование.
- •§3. Аффинные отображения.
- •§4. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.
- •§5. Изображение многоугольников.
- •§6. Изображение окружности и эллипса.
- •§7. Изображение многогранников в параллельной проекции.
- •8.Изображениемногогранников.
- •§9. Изображение цилиндра
- •10 Изоброжение конуса
- •§11. Изображение шара.
- •12. Аксонометрия. Изображение точек.
- •§13. Задачи на построение в аксонометрической проекции.
- •§14. Полные и неполные изображения.
- •§15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия.
- •§16. Построение сечений многогранников. Метод следов.
- •17. Построение сечения цилиндра.
- •§18. Построение сечения конуса.
- •§19. Построение сечения шара.
- •§20. Смешанные фигуры.
- •§21. Метрические задачи.
- •22. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •23Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •25 Проективные координаты на проективной прямой.
- •26. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •27. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •28Связь между проективными координатами на плоск. И на прям.
- •29 Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •30 Уравнение прямой на плоскости.
- •31 Теорема Дезарга.
- •32 Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •33 Основное свойство проективных преобразований.
- •34 Проективная группа плоскости.
- •35 Определения и свойства.
- •36 Формулы сложных отношений.
- •37 Гармоническая четверка точек.
- •38 Определение и типы кривых второго порядка.
- •39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •40Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •41 Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •42 Теоремы Паскаля
- •43 Теорема (Брианшона)
1 Аффинныепреобразования.
Опр 1. Преобразование плоскости f:– наз. аффинным, если оно действует по формулам вида
(1)
и при этом, = 0.
В матричном виде формулы (1) можно переписать так:
X= AX + C , (1)
A = , C = .
1. Последовательное выполнение двух аффинных преобр-ний есть аффинное преобр-ние. Преобр-ние обратное к аффинному тоже является аффинным. Тождественное преобр-ние является аффинным. Другими словами, все аффинные преобразования плоскости образуют группу.
2. (Основное св-во аффинных преобр-ний) Аффинное преобр-ние переводит прямые в прям. Параллельные прям. переходят в параллельные.
3. Афф. Преобр-ние однозначно определяется заданием трех точек, не лежащих на одной прямой и их образов: A= f (A), B= f (B), C= f (C).
4. Аффинное преобразование с >0 сохраняет ориентацию плоскости; аффинное преобр-ние с <0 меняет ориентацию плоскости.
5. Аффинное преобр-ие сохраняет простое отношение трёх точек и сохр. пропорциональность отрезков, лежащих на параллельных прямых.
Примем без док-ва, что следующее опр-ние равносильно опр-нию 1.
Опр. 2. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно переводит прямые в прямые. Др-и словами, любое преобр-ние плоск-и, переводящее прямые в прямые задаётся формулами (1).
Лемма. Пусть A и B – две точки на прямой l, а f1 и f2 – аффинные преобразования плоскости. Если f1(A)=f2(A), f1(B)=f2(B), то для любой точки M на прямой l выполняется f1(M)=f2(M).
Д-во. Пусть A=f1(A), B=f1(B). Пусть M – произвольная точка на прямой l и M=f1(M), M=f2(M). Пусть =(AB, M). Тогда точки и обе принадлежат прямой l=f1(l), и обе делят отрезок AB в одинаковом отношении :1. Значит, M=M.
Следствие. Если аффинное преобразование имеет f две неподвижные точки A и B, то и вся прямая неподвижна относительно преобразования f, т.е. f(M)=M MAB.
Теорема 1. Пусть R = {O, A1, A2} и R = {O, A1, A2} – произвольные аффинные реперы плоскости . Тогда существует одно и только одно аффинное преобр-ние плоскости, которое переводит репер R в репер R . При этом движении точка M с данными координатами в репере R переходит в точку M с такими же координатами в репере R .
Д-во. Определим отображение f:– по следующему правилу. Точке M(x, y)R сопоставляется точка M(x, y)R, т.е. имеющая точно такие же координаты, только во втором репере. Мы имеем
O(0, 0)R , O(0, 0)R ; A1(1, 0)R , A1(1, 0)R ; A2(0, 1)R , A2(0, 1)R .
Поэтому O= f (O), A1= f (A1), A2= f (A2).
Очевидно, что отображениеf явл. взаимно однозначным. Д-ем, что оно яв-ся аффинным. Пусть l – произв-ая прямая. Тогда относительно репера она задаётся Ур-ем Ax+By+C=0. Но тогда её образ l будет иметь точно такое же Ур-ие, только относ-но репера R . След-но, l тоже явл. прямой.
Д-ем единственность. Предположим, что сущ-ет ещё одно аффинное преобразование g, такое что g(R)=R. Пусть M – произв. точка плоскости. Проведём через M прямую m, которая пересечёт координатные оси OA1 и OA2 в точках M1 и M2. Согласно лемме
f(M)=g(M).
Итак, преобразованияg и f одинаково действуют на произвольную точку плоскости. Это значит, что преобразования g и f совпадают.
Следствие. Если аффинное преобразование f имеет три неподвижные точки, которые не лежат на одной прямой, то f – тождественное преобразование.
Поэтому след-ая теор. имеет самост-ное значение.
Теор 2. Любое аффинное преобр-ние плоск-ти переводит репер в репер
Д-во. Пусть f – аффинное преобр-ие, R={O, A1, A2} – произв-ый репер, O=f(O), A1=f(A1), A2=f(A2). Нам требуется д-ть, что R = {O, A1, A2} – тоже репер, т.е. что точки O, A1, A2 не лежат на одной прямой. Предп-им прот-ое: эти точки лежат на одной прям. Пусть M – произв-ая точ. плоск, m, M1 и M2 – такие же, как в предыдущей теор. (см. чертёж к теор. 1). Точ. M1OA1 её образ M1OA1; точ. M2OA2 её образ M2OA2. След-но, прямая m=f(m) совпадает с прямой A1A2, а значит, M=f(M)A1A2.
Мы показали, что произ-ая точка плоск-и отображается на прямуюA1A2, а это значит, что вся плоскость отобр-ся на эту прямую. Поэтому f не явл. преобр-ем. Полученное противоречие показывает, что точки O, A1, A2 не могут лежать на одной прямой.
§2. Параллельное проецирование.
Опр. Выберем в пространстве некоторую плоскость и вектор p;\s\up8(( не параллельный . Пусть A; ¯ – произвольная точка в пространстве. Проведём через A; ¯ прямую, параллельную p;\s\up8((. Эта прям. пересечёт плоск. в точке Ao, которая наз. параллельной проекцией точки A; ¯ на плоскость по направлению вектора p;\s\up8((.
Совокупность проекций всех точек фиг. (;¯ сост-ют фигуруo, которая наз. проекцией фигуры . Если вектор p;\s\up8((, то проекция наз. ортогональной. В дальнейшем рассматриваемые прямые и отрез. не параллел. Вект-у p;\s\up8((.
Свойства параллельного проецирования.
1. Проекция прямой есть прямая.
2.Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3. Проекция отрезка A; ¯B; ¯ есть отрезок AoBo, где Ao – проекция точки A; ¯, Bo – проекция точки B; ¯.
4.При параллельном проецировании сохраняется простое отношение трёх точек. В частности, проекция середины отрезка A; ¯B; ¯ есть середина отрезка AoBo.
5.Проекции парал-ых отрезков, или отр-ов, лежащих на одной прям, парал-ны или лежат на одной прямой.
6. Проекции параллельных отрез, или отр-ов, лежащих на одной прям. пропорц-ны этим отрезкам:
= .
Упр. Д-е их самостоятельно.
Пусть (; ¯ и – две различные плоск, а p;\s\up8(( – вектор не парал-ый этим плоск-ям. Каждой точке M; ¯(; ¯ поставим в соответствие её проекцию Mo на плоск. параллельно век-у p;\s\up8((. Полученное отобр-ие f:(; ¯ – наз. параллельным проецированием плоскости (; ¯ на плоскость по направлению век-а p;\s\up8((.
§3. Аффинные отображения.
Опре. Пусть (; ¯ и – две различные или совпадающие плоскости в пространстве. Взаимнооднозначное отображение f:(; ¯ – наз. аффинным отображением плоскости (; ¯ на плоскость , если любые три точки M1;¯, M2;¯, M3;¯ плоскости (; ¯, лежащие на одной прям, переходят в три точки M1, M2, M3 плоскости , лежащие на одной прямой.
Отобр-ие f:(; ¯ – наз. подобием, если сущ-ет такое чис. k>0, что для любых тчк A; ¯,B; ¯ плоск-и (; ¯ и их образов Ao,Bo в плоск-и выпол-ся |AoBo|=k|A; ¯B; ¯ |.
Если плоскости (; ¯ и совпадают, то аффинное отображение будет аффинным преобр-ем, а подобие – преобр-ем подобия. Можно д-ть, что аффинное отображение сохраняет простое отношение трёх точек.
Лемма. Подобие является аффинным отображением.
Д-во. Согласно неравенству треугольника |AB|+|BC||AC|, и при этом равенство возможно тогда и только тогда, когда B лежит на отрезке AC.
Пусть f:(; ¯ – – подобие, а M1;¯, M2;¯, M3;¯ – три точки плоск. (; ¯, лежащие на одной прямой. Тогда, если M2;¯ лежит между M1;¯ и M3;¯, то выпол-ся |M1;¯M3;¯|
=|M1;¯M2;¯|+|M2;¯M3;¯|. Пусть M1, M2, M3 – образы этих точек. Тогда
|M1M2|+|M2M3|=k|M1;¯M2;¯|+k|M2;¯M3;¯|= =k(|M1;¯M2;¯|+|M2;¯M3;¯|)=k|M1;¯M3;¯|=|M1M3|.
Аэто означает, чтоM2 лежит на отрезке M1M3.
Примеры аффинных отображений.
1. Параллельное проецирование одной плоскости на другую.
2. Пусть f1:(; ¯ – – параллельное проецирование, а f2:– – некоторое аффинное преобразование плоскости (например, подобие). Тогда отображение f2f1:(; ¯ – будет аффинным отображением.
Все свойства аффинных преобразований переносятся и на аффинные отображения. Доказательства следующих теорем получаются из доказательств теорем 1 и 2 заменой слова «преобразование» на слово «отображение».
Теорема 3. Пусть R; ¯ = {O; ¯, A1;¯, A2;¯} и R = {O, A1, A2} – произвольные аффинные реперы в плоскостях (; ¯ и соответственно. Тогда существует одно и только одно аффинное отображение плоскости (; ¯ на плоскость , которое переводит репер R в репер R . При этом движении точка M с данными координатами в репере R переходит в точку M с такими же координатами в репере R .
Теорема 4. Любое аффинное преобразование f:(; ¯ – переводит репер на плоскости (; ¯ в репер на плоскости .
Следствие. Аффинное отображение переводит параллельные прямые в параллельные прямые, луч – в луч, отрезок – в отрезок, полуплоскость – в полуплоскость, угол – в угол.
Аффинная эквивалентность.
Опре. Фигуры и (;¯, лежащие в плоскостях (; ¯ и соответственно, наз. аффинно-эквивалентными, если сущ-ет аффинное отображение f:(; ¯ – , которое фигуру (;¯ переводит в фигуру . Вершины произвольного треугольника образуют репер. Поэтому из теоремы 3 следует, что произвольные два треугольника A; ¯B; ¯C; ¯(; ¯ и ABC аффинно-эквивалентны.
Теорема 5. Два четырёхугольника, которые лежат в плоскостях (; ¯ и аффинно-эквивалентны тогда и только тогда, когда их можно обозначить буквами A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ и ABCD так, что для точек E; ¯ = A; ¯C; ¯ B; ¯D; ¯ и E=ACBD будет выполнено
(A; ¯C; ¯, E; ¯)=(AC, E), (B; ¯D; ¯, E; ¯)=(BD, E) (1)
Условие (1) означает, что соответствующие диагонали четырёхугольников делятся точкой пересечения диагоналей в одинаковом отношении.
Д-во. Пусть четырёхугольники аффинно-эквивалентны. Это значит, существует аффинное отображение f:(; ¯ – , которое переводит первый четырёхугольник во второй. Обозначим их так, чтобы выполнялось A=f(A; ¯), B=f(B; ¯), C=f(C; ¯), D=f(D; ¯). Тогда отрезок A; ¯C; ¯ переходит в отрезок AC, отрезок B; ¯D; ¯ – в отрезок BD. Точка пересечения отрезков A; ¯C; ¯ и B; ¯D; ¯ переходит в точку пересечения отрезков AC и BD, и при этом сохраняется простое отношение трёх точек. Это означает, что выполняется (1).
Обратно, пусть четырёхугольники обозначены буквами так, что выполнено (1). Рассмотрим аффинное отображение f:(; ¯ – , которое переводит репер R; ¯ = {A; ¯, B; ¯, D; ¯} в репер R = {A, B, D}. В силу (1) точка E; ¯ будет переходить именно в точку E. Мы имеем f(A; ¯)=A, f(E; ¯)=E. Значит, луч A; ¯E; ¯ переходит в луч AE, а первое из условий (1) оказывает, что точка C; ¯A; ¯E; ¯ переходит в точку CAE. Таким образом, четырёхугольник A; ¯B; ¯C; ¯D; ¯ переходит в четырёхугольник ABCD.