13. Приведите и объясните постановку задачи оптимизации функций одной переменной

Задача оптимизации, функция цели которой зависит от одной переменной, относится к самому простому типу оптимизационных задач и имеет вид

Анализ задач такого типа занимает центральное место в оптимизационных исследованиях, как теоретической, так и практической направленности. Прежде всего это связано с тем, что методы оптимизации функций одной переменной используются для решения промежуточных подзадач во время поиска экстремума функций многих переменных. Важность оптимизационных задач с одной управляемой переменной обусловила разработку большого количества алгоритмов их решения.

14. Какая функция называется унимодальной?

15. Сформулируйте правило исключения интервалов (метод исключения интервалов)

Методы поиска, которые позволяют определить оптимум функции одной переменной путем уменьшения интервала поиска, носят название методов исключения интервалов.

Все методы одномерной оптимизации основаны на предположении, что исследуемая целевая функция в допустимой области по крайней мере обладает свойством унимодальности, так как для унимодальной функции W(x) сравнение значений W(t) в двух различных точках интервала поиска позволяет определить, в каком из заданных двумя указанными точками подынтервалов точки оптимума отсутствуют.

Правило исключения интервалов. Пусть W(x) унимодальна на отрезке [a,b], а ее минимум достигается в точке x*. Рассмотрим x1 и x2, расположенные a<x1<x2<b.

Если W(x1)>W(x2), то точка минимума W(x) не лежит в интервале (a,x1), т.е. x*Є (x1,b).

Если W(x1)<W(x2), то точка минимума W(x) не лежит в интервале (x2,b), т.е. x*Є (a,x2).

Это правило позволяет реализовать процедуру поиска путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается тогда, когда оставшийся подынтервал уменьшается до достаточно малых размеров.

Главное достоинство поисковых методов - основаны на вычислении только значений функции и, следовательно, не требуют выполнения условия дифференцируемости и записи в аналитическом виде. Последнее свойство особенно ценно при имитационном моделировании.

Процесс применения методов поиска на основе исключения интервалов включает два этапа:

этап установления границ интервала;

этап уменьшения интервала.

Этап установления границ интервала

Выбирается исходная точка, а затем на основе правила исключения строится относительно широкий интервал, содержащий точку оптимума. Обычно используется эвристический метод, например, Свенна, в котором (k+1) пробная точка определяется по рекуррентной формуле

xk+1 = xk + 2kD , k=0,1,2... (3.1)

где

xo - произвольно выбранная начальная точка;

D - подбираемая величина шага.

Знак D определяется путем сравнения значений W(x), W(xo + |D | ), W(xo -|D | ):

если W(xo -|D| ) W(x) W(xo + |D| ), то D имеет положительное значение;

если W(xo -|D| ) W(x) W(xo + |D| ), то D имеет отрицательное значение;

если W(xo -|D| ) W(x) W(xo + |D| ), то точка минимума лежит между xo - |D| и xo + |D| и поиск граничных точек завершен;

если W(xo -|D| ) W(x) W(xo + |D| ), то имеем противоречие предположению об унимодальности.

Пример 3.

W(x)=(100-x)2, xo=30, |D| =5.

Определим знак D :

W(30)=4900;

W(30+5)=4225;

W(30-5)=5625.

Выполняется условие W(xo -|D| ) W(x) W(xo + |D| ), следовательно, D имеет положительное значение; x*=30.

x1=xo+20D = 35;

x2=x1+21D = 45, W(45)=3025 < W(x1) ® x*>35;

x3=x2+22D = 65, W(65)=1225 < W(x2) ® x*>45;

x4=x3+23D = 105, W(105)=25 < W(x3) ® x*>65;

x5=x4+24D = 185, W(185)=7225 > W(x4) ® x*<185.

Искомый интервал 65<x*<185.