Варианты по механике
.pdf
Решение:
Согласно закону сохранения момента импульса, . Здесь J – момент инерции шариков относительно оси вращения, – угловая скорость вращения вокруг этой оси.
Отсюда 
. Таким образом, угловая скорость уменьшится в 4 раза.
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Элементы специальной теории относительности
Космический корабль летит со скоростью |
( |
скорость света в вакууме) в системе |
отсчета, связанной с некоторой планетой. Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, перпендикулярного направлению движения корабля, в положение 2, параллельное направлению движения. Длина этого стержня с точки зрения другого космонавта …
равна 1,0 м при любой его ориентации
изменяется от 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2
изменяется от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2 
изменяется от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2
Решение:
Движение макроскопических тел со скоростями, соизмеримыми со скоростью света в вакууме, изучается релятивистской механикой. Одним из следствий преобразований Лоренца является так называемое Лоренцево сокращение длины, состоящее в том, что линейные размеры тела
сокращаются в направлении движения: |
. Здесь – длина тела в системе |
отсчета, относительно которой тело неподвижно; |
– длина тела в системе отсчета, |
относительно которой тело движется со скоростью |
. При этом поперечные размеры тела не |
изменяются. Поскольку с точки зрения другого космонавта стержень покоится и в положении 1, и в положении 2, то длина стержня равна 1,0 м при любой его ориентации.
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения
Диск равномерно вращается вокруг вертикальной оси в направлении, указанном на рисунке белой стрелкой. В некоторый момент времени к ободу диска была приложена сила, направленная по касательной.
До остановки диска правильно изображает направление угловой скорости вектор …
4
1
2
3
Решение:
Направление вектора угловой скорости |
связано с направлением вращения тела правилом |
правого винта. В данном случае вектор |
ориентирован в направлении 4. После приложения |
силы движение становится замедленным.
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Динамика поступательного движения
Автомобиль поднимается в гору по участку дуги с постоянной по величине скоростью.
Равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль, ориентирована в направлении …
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
3 |
Решение:
Согласно второму закону Ньютона |
, где – равнодействующая всех сил, |
||
действующих на тело, – его ускорение. Вектор ускорения удобно разложить на две |
|||
составляющие: |
. Тангенциальное ускорение |
направлено по касательной |
|
к траектории в данной точке и характеризует быстроту изменения модуля скорости; |
|||
нормальное ускорение |
направлено по нормали к траектории в данной точке |
||
(направление 3) и характеризует быстроту изменения направления скорости. При движении по
криволинейной траектории |
0, при движении с постоянной по величине скоростью |
0. Следовательно, вектор |
ориентирован в направлении 3. В этом же направлении |
ориентирован и вектор . |
|
ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке |
|
|
|
Тема: Динамика вращательного движения |
|
|
|
Величина момента импульса тела изменяется с течением времени по закону |
(в |
||
единицах СИ). Если в момент времени |
угловое ускорение составляет |
, то момент |
|
инерции тела (в |
) равен … |
|
|
5
6
0,2
0,5
Решение:
Cкорость изменения величины момента импульса относительно неподвижной оси равна
величине суммарного момента внешних сил относительно этой оси, то есть |
где – |
|
величина момента импульса, |
– величина момента силы. Вычислив производную от |
|
функции, характеризующей зависимость величины момента импульса от времени, получим величину момента силы . Используя основной закон динамики
вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, можем определить его момент инерции: .
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке
Тема: Работа. Энергия
Тело движется под действием силы, зависимость проекции которой от координаты представлена на графике:
Работа силы (в 
) на пути 4 м равна …
30 |
Решение:
Работа переменной силы на участке 
определяется как интеграл: .
Используя геометрический смысл определенного интеграла, можно найти работу, которая численно равна площади трапеции 
.
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Законы сохранения в механике
Шар массы , имеющий скорость v, налетает на неподвижный шар массы 
:
После соударения шары будут двигаться так, как показано на рисунке …
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
Решение:
Согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение |
, что |
означает, что должна сохраняться и величина импульса и направление. В ситуации, |
|
показанной на рисунке, |
|
это соотношение выполняется.
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Элементы специальной теории относительности
Скорость релятивистской частицы |
, где с – скорость света в вакууме. Отношение |
кинетической энергии частицы к ее полной энергии равно …
0,4
0,6
0,8
0,2
Решение:
Кинетическая энергия релятивистской частицы |
, где |
– полная |
энергия частицы, движущейся со скоростью |
– ее энергия покоя. Тогда |
|
отношение кинетической энергии частицы к ее полной энергии равно: |
|
|
.
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке
Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Скорость точки, находящейся на расстоянии 10 см от оси, изменяется со временем в соответствии с графиком, представленным на рисунке.
Угловое ускорение тела (в единицах СИ) равно …
5
0,5
0,05
50
Решение:
По определению угловое ускорение тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, ,
где – угловая скорость тела. Связь между модулями угловой скорости вращения тела и линейной скоростью точки, отстоящей от оси вращения на расстояние R, имеет вид 
.
Отсюда 
, причем R = 10 см = 0,1 м. Из представленного графика начальная скорость
м/с, ускорение |
|
Итак, зависимость скорости точки от |
времени в единицах СИ задается уравнением |
, а зависимость угловой скорости |
|
вращения тела – уравнением |
. Тогда |
|
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Динамика поступательного движения
Тело массой |
движется с коэффициентом трения 0,5 по наклонной плоскости, расположенной |
||
под углом |
к горизонту. Сила трения (в ) равна … |
||
5 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
На тело, движущееся по наклонной плоскости, действует сила трения
ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке
Тема: Динамика вращательного движения
Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и сплошной шар; причем массы m и радиусы R шара и оснований диска и трубы одинаковы.
Верным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …
Решение:
Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра (диска) массы m и радиуса R относительно его оси 
. Момент инерции диска относительно указанной оси
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
вычисляется с использованием теоремы Штейнера: . Момент
инерции тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его оси 
, момент инерции шара массы m и радиуса R . Таким
образом, правильным соотношением для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение 
.
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке |
|
Тема: Работа. Энергия |
|
Потенциальная энергия частицы задается функцией |
. |
-компонента (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (3, 1, 2), равна … (Функция 
и координаты точки А заданы в единицах СИ.)
36 |
Решение:
Связь между потенциальной энергией частицы и соответствующей ей потенциальной силой
имеет вид |
, или |
, |
, |
. Таким образом, |
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке
Тема: Законы сохранения в механике
Сплошной цилиндр и шар, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха
можно пренебречь, то отношение высот 
, на которые смогут подняться эти тела, равно …
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
1
Решение:
В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому
, или |
, где J – момент инерции тела относительно оси, |
проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, на которую сможет подняться тело. Отсюда с учетом того, что 
, получаем:
. Моменты инерции сплошного цилиндра и шара равны соответственно 
и 
. Тогда искомое отношение высот 
.
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке
Тема: Элементы специальной теории относительности
Космический корабль летит со скоростью |
( |
скорость света в вакууме) в системе |
отсчета, связанной с некоторой планетой. Один из космонавтов медленно поворачивает метровый стержень из положения 1, перпендикулярного направлению движения корабля, в положение 2, параллельное направлению движения. Длина этого стержня с точки зрения другого космонавта …
равна 1,0 м при любой его ориентации
изменяется от 1,0 м в положении 1 до 1,67 м в положении 2
изменяется от 1,0 м в положении 1 до 0,6 м в положении 2 
изменяется от 0,6 м в положении 1 до 1,0 м в положении 2
Решение:
Движение макроскопических тел со скоростями, соизмеримыми со скоростью света в вакууме, изучается релятивистской механикой. Одним из следствий преобразований Лоренца является так называемое Лоренцево сокращение длины, состоящее в том, что линейные размеры тела
сокращаются в направлении движения: |
. Здесь – длина тела в системе |
отсчета, относительно которой тело неподвижно; |
– длина тела в системе отсчета, |
относительно которой тело движется со скоростью |
. При этом поперечные размеры тела не |
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]
изменяются. Поскольку с точки зрения другого космонавта стержень покоится и в положении
1, и в положении 2, то длина стержня равна 1,0 м при любой его ориентации.
ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке |
|
Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения |
|
Диск вращается вокруг своей оси, изменяя проекцию угловой скорости |
так, как показано |
на рисунке. Вектор угловой скорости и вектор углового ускорения |
направлены в одну |
сторону в интервалы времени … |
|
от 0 до |
и от |
до |
от 0 до |
и от |
до |
от до |
и от |
до |
от 0 до |
и от |
до |
Решение:
По определению угловое ускорение тела |
, где |
– его угловая скорость. При |
|
вращении вокруг неподвижной оси векторы |
и коллинеарны, причем направлены в одну и |
||
ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение |
|||
замедленное. Направление вектора |
связано с направлением вращения тела правилом |
||
правого винта. В интервале времени от 0 до |
вектор угловой скорости направлен вдоль оси |
||
OZ и, поскольку скорость увеличивается, вектор углового ускорения направлен так же. В интервале времени от до вектор угловой скорости направлен против оси OZ, но скорость
при этом также увеличивается, следовательно, вектор углового ускорения сонаправлен с вектором угловой скорости.
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке
Тема: Динамика поступательного движения
file:///C|/Users/Сергей/Desktop/Новая папка/Варианты по механике.htm[16.12.2012 8:59:52]