Типовик 2 семестр ч4
.pdf110 |
|
|
|
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
|||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 1 sin22xdx; |
|
б) 2e13xdx; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
в) 1 ctg22xdx; |
|
г) 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
5x 1 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
1 |
3 e9x |
|
dx; |
б) |
|
cos(9 1 2x)dx; |
в) |
|
dx |
|
. |
|||||
4 |
1sin6x |
2 |
2 |
2 |
25x2 1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
cos(5x 41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 5 |
1 |
|
e3x |
4 |
|
|
|
|
|
3 73x 4 sh22x2dx; |
|
|
|
|
|
||||
22 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
б) 3((5 1 x)5 2 e13x21 2 25x24 )dx.
3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:
1 уровень
а) 2 22arctgx dx;
1 1 x2
2 уровень
а) 1 tg x dx; x
3 уровень
а) 2 x 1 ln2 2x dx; x
в) 3 x 1 2arctgx dx. 12 x2
б) 24x x2 11dx; |
в) 2e1 sinx cosxdx. |
||||
б) 2 |
sinxdx |
в) 2 |
x2dx |
||
|
; |
|
. |
||
|
22 1 x6 |
||||
1 1 4cos2 x |
б) 2 arcsin4 x 1 4 dx; 1 1 x2
4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:
1 уровень |
|
а) 2(x 1 1)exdx; б) 1 xcosxdx; |
в) 1 lnx5dx. |
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
111 |
2 уровень
a) 2(x 1 6)cos7xdx; б) 1 x |
5 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ln |
3 dx; в) 2arctg |
|
22x 11dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 1 ex cos2xdx; |
|
|
б) 1 x2 sin3xdx; |
|
в) 1 |
x ln2 xdx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. Вычислить интегралы от рациональных дробей: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
б) 2 |
|
|
|
dx |
|
в) 3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 1 2x 1 26 |
x2 1 2x 115 |
(x 1 2)(x 2 9) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
3x 11 |
|
dx; |
б) 2 |
|
dx |
|
; в) 3 |
5x3 1 9x2 2 22x 2 8 |
dx. |
||||||||||||||||||||||||
x2 2 x 11 |
x3 1 64 |
|
|
x2 2 4x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
|
x3 |
|
dx; б) 2 |
|
|
dx |
|
; в) 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
x |
3 |
1 x |
2 |
2 x 2 |
|
x |
2 |
2 |
|
x |
4 |
1 8x |
2 |
1 |
15 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(x 11) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 1 sin5xcosxdx; |
б) 2 |
|
|
|
dx |
|
|
в) 1 |
sinx |
|
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
8 1 3sinx |
|
|
cos3 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 1 sin4 2xdx; |
|
|
б) 1 sin5 xcos2 xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) 3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
8 1 4sinx 2 7cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
в) 1 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 2(1 1 3cos2x)3 dx; |
|
б) 1 tg4 2 dx; |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin3 xcosx |
7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:
112 |
|
|
|
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
|||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 2 |
|
|
dx |
|
; |
б) 2 |
|
dx |
|
|
; |
в) 2 |
2 1 |
x 11 |
dx. |
||||
2 |
1 8x 1 |
5 |
|
x 1 |
3 |
x |
3 |
x 11 |
|||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
x 1 1 |
dx; |
б) 2 |
x2 1 9dx; |
в) 4 |
|
dx |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
x11 3 3 x 23 |
|||||||||||||||
12 x 1 x2 |
|||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
|
4x 11 2 5 |
dx; |
б) 2 |
|
1 1 3 x |
dx; |
|
|
|
|
|||||||
(4x 11)2 2 4x 11 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
в) 2 |
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 1 3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x |
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 23
1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:
1 уровень
а) 123x dx; |
|
|
|
|
б) 123tgxdx; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) 2(x7 1 cosx)dx; |
|
|
г) 1 |
x4 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
б) 8 |
1 |
23sinx 3 |
3 |
2 |
|
|||||||
а) |
|
|
|
x |
x |
3 |
|
|
|
|
dx; |
4 |
|
|
|
5dx; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
1 |
sin2 x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
x5 7 |
|
|||||||||
|
8 |
1 |
|
|
6 |
|
3 |
23 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
4 |
|
|
|
|
x |
|
5dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
6 x2 3 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) 3 |
|
|
|
x3 1 x 2 x5 2 x6 |
б) 9 |
1 |
34 |
x |
4 |
|
11 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
5 |
|
|
|
|
|
|
6dx. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
4 |
|
|
|
8 |
2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
113 |
|||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 1 cos23xdx; б) 2412x dx; в) 1 tg23xdx; |
г) 2 |
dx |
|
. |
|
||||
3 1 7x |
|
||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 2(sin8x 1 e5x )dx; |
б) 2cos(4 1 23x)dx; |
в) 2 |
|
dx |
. |
||||
|
1 1 |
23x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ctg(5x 4 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 51523x 4 |
|
|
3 e7x 4 ch23x2dx; |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
б) 51 (2 3 6x)7 4 e432x 4 26x45 2dx.
3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:
1 уровень
|
1arcctgx |
|
|
|
|
|
|
|
а) 3 e12 x2 dx; |
|
б) 2x2 (x3 1 2)24 dx; |
в) 2 e1 cosx sinxdx. |
|||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 1 |
sh x |
|
|
б) 2 |
xdx |
|
в) 2x2 9 1 1 x3 dx. |
|
x dx; |
|
|
|
; |
|
|||
|
|
(1 1 x2 )7 |
|
|||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 2 |
23 1 tg27x |
dx; |
б) 2 |
arccos3 x 1 23 |
dx; |
|
||
cos2 7x |
1 1 x2 |
|
||||||
в) 3 |
5x 1 arctg5x |
dx. |
|
|
|
|
||
1 2 x2 |
|
|
|
|
|
4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:
1 уровень
а) 1 x23x dx; |
б) 17xsinxdx; |
в) 1 lnx3dx. |
2 уровень |
|
|
а) 2(x 1 4)e5xdx; |
б) 1 x23 lnxdx; |
в) 2arctg 23x 11dx. |
114 |
|
|
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
||||||||||||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 1 ex sinxdx; |
|
|
|
|
|
б) 1 x2 cos9xdx; |
|
|
|
в) 1 3 x ln2 xdx. |
|||||||||||||||||||||
5. Вычислить интегралы от рациональных дробей: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 2 |
dx |
|
|
|
|
|
б) 2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
в) 3 |
|
|
dx |
|||||||||||
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
x2 1 x 1 0,5 |
|
|
|
(x 11)(x 2 8) |
|||||||||||||||||||||||||||
x2 1 4x 112 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 2 |
|
2x 11 |
|
|
|
|
|
б) 3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
; |
|
в) 2 |
|
dx |
||||||||||
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
(x 11)(x 2 4)(x 1 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 1 x2 1 6x |
x3 1 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 3 |
|
2x3 1 6x2 1 7x |
|
|
|
б) 2 |
|
x3 |
1 5x2 1 12x 1 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||
|
(x 2 2)(x 1 |
|
|
3 |
|
(x |
2 |
1 |
4)(x 1 2) |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 x4 1 4x2 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 1 sin7xcosxdx; |
б) 2 |
|
dx |
|
|
|
; |
в) 1 cosxsin4 xdx. |
|||||||||||||||||||||||
sinx 1 cosx |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 1 cos4 6xdx; |
|
|
|
|
|
б) 1 sin3 2xcos3 2xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) 2 |
|
sinx 1 cosx |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 1 sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 2 |
(1 1 2sinx) |
3 |
|
|
|
б) 1 ctg |
4 x |
|
|
|
|
|
|
в) 2 |
|
sin3 x |
|||||||||||||||
|
|
dx; |
5 dx; |
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cosx 1 6 |
||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить интегралы от иррациональных функций: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 3 |
|
dx |
|
|
|
; |
б) 3 |
3 1 |
xdx |
; |
|
|
|
в) 2 |
|
x |
|
dx. |
|||||||||||||
|
x2 1 4x 2 3 |
1 2 4x |
|
|
|
x 116 |
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
115 |
||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
|
|
3x 1 5 |
|
dx; |
б) 3 |
11 x2 2 2xdx; |
||||
|
16 1 6x 2 x2 |
||||||||||
в) 2 |
3 |
3x 1 7 1 2 |
dx. |
|
|
|
|||||
1 |
1 |
3 |
3x 1 |
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 уровень |
|
|
|
|
dx |
|
|||||
а) 2x5 3 (2 1 x3 )2 dx; |
б) 2 |
; |
|||||||||
x 1 3 x 1 24 x |
|||||||||||
в) 2 |
3 |
1 1 4 x3 |
dx. |
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
|
Вариант 24
1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:
1 уровень
а) 1 x24 |
3dx; |
|
|
|
|
|||
в) 41x2 |
x 3 sinx2dx; |
|||||||
2 уровень |
|
|
|
|
||||
а) 415 x2 3 |
1 |
2dx; |
||||||
x2 316 |
||||||||
|
8 |
2 x 1 24x2 |
13 |
3 |
||||
в) |
4 |
|
|
|
|
|
5dx. |
|
x |
x2 1 |
|
||||||
|
6 |
17 |
3 уровень |
|
||
а) 3 |
x3 |
1 3x3 2 x5 2 x7 |
dx; |
|
x2 |
б) 2(15)cosxdx;
г) 1 3xx2 x dx.
б) 8 |
1 |
3chx 3 |
24 |
2 |
4 |
|
5dx; |
||
7 |
||||
|
6 |
|
x |
7 |
б) 9 |
1 |
324e |
x |
4 |
1 |
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
6dx. |
|||
|
64 4 |
64x |
2 |
|||||
|
7 |
|
|
|
|
8 |
2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:
1 уровень
а) 1 sh24xdx; б) 2 |
214x dx; в) 1 cos5xdx; г) 2 |
dx |
|
. |
|
15 |
1 |
|
|||
|
|
2x |
116 |
|
|
|
|
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 2(tg24x 1 5e13x )dx; |
б) 2sin(2 17x)dx; в) 2 |
|
|
dx |
|
. |
|||||||||
|
1 |
1 81x |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9 |
2 |
1 |
|
1x |
|
8 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
а) |
5 |
|
e |
|
4 |
|
1 |
1 4 5x |
4 ctg24x6dx; |
|
|
|
|
||
2 |
|
sin2 (2x 1 4) |
|
|
|
|
|||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
б) 515 (1 4 5x)2 4 24e43x 4 93x41 2dx.
3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:
1 уровень
а) 2 |
exdx |
; |
б) 1 |
sinx |
|
dx; |
в) 124cosx sinxdx. |
|||||||
24 |
1 e |
x |
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
24 |
|
|
|
|
x2dx |
|
3 |
|
|||||
а) 1 lnx x dx; |
б) 2 |
|
; |
в) 12x |
|
x2dx. |
||||||||
(1 1 x3 )4 |
|
|||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 2 |
3 ctgx 1 24 |
dx; б) 2 |
arcsin6 x 11 |
dx; |
|
|
||||||||
|
sin2 x |
|
|
1 1 x2 |
|
|
в) 35x 1 arctgx dx. 1 2 x2
4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:
1 уровень |
|
|
а) 1 x24x dx; |
б) 2(x 1 24)sinxdx; |
в) 1lnx6dx. |
2 уровень |
|
|
а) 3(3x 2 2)e1xdx; |
б) 1 x x lnxdx; |
|
в) 2arcsin 1 1 24x2 dx.
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
117 |
||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 15x sinxdx; |
|
|
б) 1 x2 cos24xdx; |
в) 1 6 x ln2 xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Вычислить интегралы от рациональных дробей: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
|
dx |
|
|
|
; |
б) |
|
|
|
|
|
dx |
|
; |
в) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
2 x2 1 2x 1 |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 (x 1 4)(x 2 |
6) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 x2 1 2x 1 35 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 3 |
3x 11 |
|
dx; |
б) 2 |
|
xdx |
|
; |
|
|
|
|
|
|
в) 3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 11)(x 2 5)2 |
||||||||||||||||||||||||||
x2 2 2x 2 3 |
x3 1 8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
3 |
x3 1 6x2 1 18x 2 4 |
dx; б) |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
; |
в) |
|
x5dx |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(x 2 2)(x 1 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 x3 1 x2 1 x 1 |
1 |
|
|
|
2 x4 11 |
||||||||||||||||||||||||
6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 1 sin5xsin7xdx; |
|
б) 2 |
dx |
|
в) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
sinx cosxdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 1 sinx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 1 cos4 5xdx; |
|
|
|
|
б) 1 cos5 xdx; |
|
в) 2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(sinx 1 cosx) |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) 2(2 1 4sin3x)3 dx; |
|
б) 2 |
|
|
|
; в) 1 |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4 1 tgx |
sinxcos3 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить интегралы от иррациональных функций: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 3 |
dx |
|
|
|
|
|
б) 4 |
|
|
|
dx |
|
|
в) 2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x2 1 2x 2 8 |
|
|
|
x 13 x 3 92 |
|
|
x 1 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 3 |
x 1 1 |
|
|
|
|
dx; |
б) 2 |
|
|
x3 |
|
|
|
dx; |
|
|
в) 2 |
|
|
|
2 1 x |
dx. |
||||||||||||||||
5 2 4x 2 x |
2 |
|
|
|
4 1 x |
2 |
|
|
1 |
1 |
3 |
2 1 x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
3 уровень
а) 2 |
|
|
dx |
|
|
|
5 113 4 x3 24 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
; |
б) 4 |
|
|
dx; в) 2 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
(x2 11)5 |
|
|
x2 (x2 116)1/2 |
||||||||||||||||||||
|
20 x47 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. Вычислить интегралы непосредственным интегри |
||||||||||||||||||||||||
рованием: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) 125 |
x7 dx; |
|
|
б) 2 |
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 1 25 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1x3 3 25tgx2dx; |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) 4 |
|
г) 1 |
5x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 уровень |
|
|
|
|
б) 418sinx 3 |
|
|
2dx; |
|
|
||||||||||||||
а) 5 |
13ex 4 cos25x 2dx; |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||
|
x2 |
3 25 |
|
|
||||||||||||||||||||
в) |
9 |
2 |
x |
4 |
x2 |
1 5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 |
3 |
|
x2 |
6dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x 1 x 2 x2 2 x3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
||||||||
а) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
б) 845ctgx |
3 |
|
|
|
|
|
|
5dx. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25 3 25x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
x |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:
1 уровень
а) 1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
; б) 2e12xdx; |
в) 1 ch5xdx; |
г) 2 |
|
|
|
. |
|
||||||
cos2 25x |
|
|
||||||||||||
(1 |
1 25x) |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) 2(sin7x 1 e25x )dx; б) 2 |
|
|
dx |
|
; |
в) 2 |
|
dx |
|
|
. |
|||
sin |
2 |
(25 1 |
|
|
|
5 |
||||||||
|
|
|
|
3x) |
|
|
|
(11 3x) |
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
119 |
|||||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
||||
|
9 |
2 |
|
1x |
|
tg(7 1 6x) |
|
|
25 |
3 |
а) |
5 |
5e |
|
4 |
|
1 |
|
|
4 cos25x6dx; |
|
|
3 |
|
4 49x2 |
|||||||
|
7 |
|
|
|
1 |
8 |
б) 51 (2 4 5x)9 4 2e1325x 4 252x46 2dx.
3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:
1 уровень
а) 1 |
dx |
; |
б) 1 |
xdx |
|
; |
|
|
|
3xlnx |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
2 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 1 |
3x dx |
|
; |
б) 2 |
4 25 1 lnx |
dx; |
|||
sin2 3x |
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
||||||
3 уровень |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 2 |
dx |
|
; б) 2 |
25 1 ln3 x |
dx; |
||||
ex (2 1 e12x ) |
x |
|
|
в) 1 cos3 x sinxdx.
в) 2e416x3 x2dx.
в) 3 arcctg2x 1 x dx. 1 2 x2
4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:
1 уровень
а) 1 x25x dx; |
б) 2(x 1 25)sinxdx; в) 1 lnx5dx. |
|
2 уровень |
|
|
а) 3(2x 2 7)e12xdx; б) 2ln(x 1 25)dx; |
в) 2arcсtg 6x 11dx. |
|
3 уровень |
|
|
а) 1 sinlnxdx; |
б) 1 x2 cos5xdx; |
в) 1 x7 ln2 xdx. |
5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:
1 уровень
а) |
|
|
dx |
|
; б) |
|
|
dx |
|
; |
в) |
3 |
dx |
|
. |
|
2 x2 |
1 6x |
1 34 |
3 x2 |
1 x 2 |
42 |
(x 11)(x 2 |
5) |
|||||||||
|
|
|
|
|