1. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Решение:

а) Составим характеристическое уравнение

Т.к. , корни действительны и различны. По теореме Виета

Запишем общее решение:

б) Составим характеристическое уравнение

Т.к. , корни действительны и различны и равны: , ,

Запишем общее решение:

в) Запишем характеристическое уравнение:

Т.к. , корень кратный, и общее решение запишется в виде:

г) Запишем характеристическое уравнение:

Т.к. корни комплексно сопряженные и равные , записываем общее решение:

д) характеристическое уравнение имеет вид: или

откуда получаем, что корни характеристического уравнения чисто мнимые и имеют кратность 2, откуда

е) характеристическое уравнение имеет корни , ,

Запишем теперь общее решение:

ж) характеристическое уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных

Запишем общее решение:

2. Решить задачу Коши: ; ;

Решение: Найдем вначале общее решение. Характеристическое уравнение имеет корни, . Отсюда получаем общее решение:

Теперь найдем и. Для этого найдеми подставим начальные условия:,. Решим полученную систему

Подставим найденные значения ив общее решение:

Итак

Корни характеристического уравнения	Правая часть	Контрольное число	Вид yчн
-2,5
7;
2;-8
3;-5
;
0;-2
-1;0
0;-4

3. Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

Решение:

а) Решим сначала однородное уравнение; для чего составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ,,,. Найдем общее решение:. Найдем по правой части контрольное число. Т.к.- многочлен второй степени, то его контрольное число, а поскольку ононе совпадает с корнями характеристического уравнения (нерезонансный случай), значит y_чн будем искать в виде:.

Найдем коэффициенты A, B, C.

Коэффициенты взяты из уравнения 

Составим систему для нахождения из уравнения: A, B, C, для чего найдем коэффициенты при степенях x², x и 1 в левой и правой частях уравнения:

Окончательно

б) Характеристическое уравнение: ,,. Запишем.

Найдем по правой части . Контрольное числоk=d=1, которое не совпадает с корнями характеристического уравнения. Найдем вид .

Найдем коэффициенты:

и приравняем коэффициенты в левой и правой частях уравнения:

. По теореме об общем решении .

в) Характеристическое уравнение:,,,. Контрольное числосовпадает с корнем характеристического уравнения: Найдем вид .

Найдем коэффициенты:

,

г)

, , , . Поскольку контрольное число совпадает с кратным корнем характеристического уравнения ищем в виде: .

. Итак

д)

, ,. Т.к. контрольное числоне совпадает с корнями характеристического уравнения (нерезонансный случай), то решение ищем в виде . Найдем коэффициентыP и Q

Составим систему:

Итак

Окончательно

е)

, ,

Контрольное число совпадает с одним из корней характеристического уравнения (резонансный случай) ищем в виде:

,

Ответ:

ж)

_{Поскольку в правой части стоят функции с различными контрольными числами, то воспользуемся теоремой наложения.}

Решим однородное уравнение: .

Для нахождения для правой части . Его ищем в виде, т.к. контрольное числоне совпадает с корнем характеристического уравнения.

Теперь найдем для правой части .

Контрольное число совпадает с корнем характеристического уравнения (резонансный случай), поэтому

_Ответ:

.