2.9.2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями , прямымии осью9рис. 5), то площадь ее вычисляется по формулам:

(42)

а пределы интегрирования находятся из уравнений на отрезка. Порядок вычисления аналогичен п. 2.9.1.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:.

Решение. Построим кривую, заданную параметрическими уравнениями (рис. 5). Для этого вычислим значения ии поместим их в табл. 5.

ОТРЕДАКТИРОВАТЬ

Таблица 5

Вспомогательная таблица для построения параметрически заданной кривой

Мы подставляли значения из верхней строки таблицы в параметрические уравнения и последовательно получали значенияи. Построим также и прямую(см. рис. 6). Найдем пределы интегрирования. Приравняем, отсюда. Посколькуизменяется отдо. Так как фигура, площадь которой мы хотим навйти, симметрична относительно оси, то можно интегрировать отдо. А результат затем удвоить. Подставляем в формулу (42)::

.

Для вычисления интеграла воспользуемся формулами (22)-(27) из п. 1.7:

.

2.9.3. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением и двумя лучамии, тогда ее площадь (рис. 7) вычисляется по формуле:

. (43)

Порядок вычислений аналогичен п. 2.9.1.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией , перейдя предварительно к полярным координатам.

Решение. Переход от декартовых к полярным координатам осуществляется по формулам:Подставив эти выражения в уравнение кривой, получим:или. Отсюда получаем уравнение кривой в полярных координатах:.

Поскольку в правой части уравнения стоит неотрицательная величина, то полярный угол может принимать любые значения . В силу периодичности функциивычислим подробно таблицу значений для аргументов в промежутке(табл. 6).

Таблица 6

Вспомогательная таблица для построения кривой, заданной в полярных координатах

Построим эту кривую ( четырехлепестковую розу). В силу симметрии фигуры достаточно проинтегрировать по отдо, а затем результат умножить на 8.

Применим формулу (43): . Для вычисления интеграла воспользуемся формулой понижения степени (15) из п. 1.7:.

Вычислить интеграл непосредственно зачастую весьма непросто. Поэтому создаются специальные таблицы интегралов. При затруднениях в вычислении того или иного интеграла, полученного при решении конкретной технической задачи, можно ими воспользоваться. Есть класс так называемых «неберущихся» интегралов, т.е. класс функций, первообразные для которых не являются элементарными. Тем не менее, интегралы от таких функций часто встречаются в математике и приложениях. Так, в теории вероятностей мы встретимся с функцией , выражающейся через такой «неберущийся» интеграл. Такого рода интегралы встречаются в электротехнике, оптике и т.д.

Для вычисления таких интегралов разработаны специальные методы. Например, формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона или с помощью рядов.

Определенный интеграл применяется в математике для нахождения длин дуг кривых, объемов различных тел, площади поверхности тел вращения и др. Широко применяется определенный интеграл в механике и физике. Это вычисление статических моментов, моментов инерции плоских дуг кривых и фигур, координат центра тяжести, а также вычисление работы, давления и многого другого.

Приложение.

1. Вычисление длины кривой, заданной явным уравнением.

Если кривая задана явным уравнением в прямоугольных декартовых координатах

,

то . (1)

Пример.

Вычислить длину дуги куска графика логарифмической функции .

Решение. Подставляя в формулу (1) , получим:

.

2. Вычисление длины кривой, заданной параметрическим уравнением.

Если кривая задана параметрическим уравнением в прямоугольных декартовых координатах

,

то. (2)

Пример. Найти длину дуги четверти астроиды между точкамии.

Решение. Найдем вначале пределы интегрирования из уравнений: ,. Отсюда. Вычислим также элементы подкоренного выражения:. Преобразуем подынтегральное выражение, используя основное тригонометрическое тождество:. Подставив полученное выражение и пределы интегрирования в формулу (2), окончательно получаем выражение для длины дуги четверти астроиды:

.

3. Вычисление длины кривой, заданной уравнением в полярных координатах.

Если кривая задана уравнением в полярных координатах

,

то. (3)

Пример. Вычислить длину дуги одного витка логарифмической спирали , где.

Решение. Подставим ив формулу (3), получим:

.