- •1.1. Задание для самостоятельной работы
- •1.2. Методические указания к выполнению аналитического расчета
- •1.3. Методические указания к выполнению моделирования
- •2. Расчет сложной цепи постоянного тока
- •2.1. Задание для самостоятельной работы
- •3. Расчет однофазной цепи переменного тока
- •3.1. Задание для самостоятельной работы
- •3.2. Методические указания к выполнению аналитического расчета
- •3.3. Методические указания к выполнению моделирования
- •4. Расчет трехфазной линейной электрической цепи
- •4.2. Методические указания к выполнению аналитического расчета
- •4.3. Методические указания к выполнению моделирования
- •5. Расчет неразветвленной неоднородной магнитной
- •5.1. Задание для самостоятельной работы
- •5.2. Методические указания к выполнению расчета
- •6. Моделирование электрических цепей с помощью программы Electronics Workbench
- •6.1. Назначение и общая характеристика программы
- •6.2. Базовые элементы цепей
- •6.3. Построение и редактирование схем
- •6.4. Запуск расчета цепи и вывод параметров. Настройка расчета
- •644046, Г. Омск, пр. Маркса, 35
3. Расчет однофазной цепи переменного тока
3.1. Задание для самостоятельной работы
Для цепи синусоидального тока заданы параметры (табл. 8) включенных в нее элементов (рис. 10) и действующее значение напряжения на ее зажимах; частота питающего напряжения f = 50 Гц. Необходимо:
1) определить действующие значения тока в ветвях и неразветвленной части цепи символическим методом;
2) по полученным комплексным изображениям записать выражения для мгновенных значений тока в ветвях и напряжения на участке цепи с параллельным соединением;
3) построить упрощенную векторную диаграмму;
4) составить баланс мощности;
5) определить характер (индуктивность или емкость) и параметры элемента, который нужно добавить в неразветвленную часть схемы, чтобы в цепи имел место резонанс напряжений;
6) выполнить моделирование режима работы цепи при заданных параметрах и в режиме резонанса напряжений с помощью системы схемотехнического моделирования Electronics Workbench.
3.2. Методические указания к выполнению аналитического расчета
3.2.1. Рассмотрим порядок расчета однофазной цепи переменного тока на примере анализа схемы, представленной на рис. 11, а. Числовые значения параметров указаны в табл. 9.
Расчет однофазной цепи с одним источником выполняют методом эквивалентных преобразований («сворачиванием» – «разворачиванием») схемы, который рассмотрен в разд. 1.
Перед выполнением расчетов необходимо значения всех параметров привести к международной системе единиц СИ (1 мГн = 10-3 Гн; 1 мкФ = 10-6 Ф). Расчет ведется символическим методом с помощью аппарата комплексных чисел.
1 2
3 4 5
6 7
EMBED Word.Picture.8 EMBED Word.Picture.8
8 9 0
Рис. 10
Таблица 8
Числовые значения параметров элементов схемы
Вариант |
Напряжение, В |
Параметры элементов цепи | ||||||||
R1, Ом |
L1, мГн |
С1, мкФ |
R2, Ом |
L2, мГн |
С2, мкФ |
R3, Ом |
L3, мГн |
С3, мкФ | ||
0 |
220 |
9 |
15 |
800 |
9 |
17 |
1000 |
5 |
14 |
800 |
1 |
127 |
6 |
20 |
200 |
8 |
18 |
800 |
6 |
10 |
700 |
2 |
380 |
8 |
25 |
400 |
7 |
20 |
600 |
7 |
8 |
450 |
3 |
380 |
5 |
16 |
600 |
6 |
48 |
400 |
8 |
13 |
600 |
4 |
127 |
7 |
10 |
500 |
5 |
13 |
500 |
9 |
11 |
500 |
5 |
220 |
4 |
14 |
1000 |
12 |
31 |
700 |
10 |
9 |
400 |
6 |
220 |
3 |
18 |
700 |
6 |
20 |
900 |
7 |
21 |
300 |
7 |
127 |
6 |
12 |
300 |
7 |
16 |
450 |
8 |
18 |
200 |
8 |
380 |
5 |
26 |
650 |
6 |
18 |
650 |
6 |
15 |
900 |
9 |
127 |
8 |
24 |
480 |
8 |
26 |
800 |
4 |
12 |
600 |
Таблица 9
Числовые значения параметров элементов схемы для примера расчета
Вариант |
Напряжение, В |
Параметры элементов цепи | ||||
R1, Ом |
R2, Ом |
L2, мГн |
С2, мкФ |
С3, мкФ | ||
– |
127 |
5 |
10 |
20 |
200 |
300 |
Для расчета полных комплексных сопротивлений ветвей определим реактивные составляющие сопротивлений (рис. 11, б), которые создают реактивные элементы, находящиеся в ветвях. Реактивное сопротивление индуктивного элемента , емкостного –, общее сопротивление ветви, содержащей индуктивный и емкостный элементы, –, гдерад; f = 50 Гц – частота питающего напряжения.
Первая ветвь цепи не содержит реактивного элемента, поэтому реактивная составляющая сопротивления ветви будет равна нулю: Ом.
Вторая ветвь содержит два реактивных элемента. Общее реактивное сопротивление ветви равно алгебраической сумме индуктивного и емкостного сопротивлений. Знак «плюс» ставится у индуктивного сопротивления, «минус» – у емкостного:
-
;
(55)
Ом;
;
(56)
Ом;
;
(57)
Ом.
Знак «минус» перед общим реактивным сопротивлением ветви указывает на его емкостный характер. Этот знак сохраняется и при записи полного комплексного сопротивления (см. ниже).
а б
в г д
Рис. 11
Реактивное сопротивление третьей ветви
-
;
(58)
Ом.
Полные комплексные сопротивления ветвей в алгебраической, показательной и тригонометрической форме (см. рис. 11) имеют вид:
, (59)
где R – действительная составляющая комплексного сопротивления;
Х – мнимая составляющая комплексного сопротивления;
–модуль комплексного сопротивления;
–аргумент комплексного сопротивления, знак аргумента зависит от знака реактивного сопротивления ветви.
Для ветвей рассматриваемой электрической цепи
; (60)
Ом;
; (61)
Ом;
; (62)
Ом.
Эквивалентная схема с учетом выполненных расчетов представлена на рис. 11, в.
Последующие операции «сворачивания» электрической схемы основаны на рассмотренных в первом разделе свойствах параллельного и последовательного соединений. Нужно помнить, что сложение и вычитание комплексных чисел выполняется в алгебраической форме записи, а умножение и сложение – в показательной, если расчеты ведутся на калькуляторе.
Заменим параллельный участок на эквивалентное сопротивление (рис. 11, г):
; (63)
Последовательное соединение двух сопротивлений преобразуем в простейшую цепь (рис. 11, д):
; (64)
Ом.
Полученная элементарная цепь рассчитывается по закону Ома для цепей переменного тока:
-
;
(65)
А.
Напряжение на параллельном участке
-
;
(66)
В.
Токи в параллельных ветвях рассчитываются по выражениям:
-
;
(67)
А;
;
(68)
А.
Для построения векторной диаграммы необходимо также определить напряжение на неразветвленной части цепи:
-
;
(69)
В.
Расчет однофазной цепи с помощью математического редактора Mathсad представлен в прил. 3. Нужно заметить, что в Mathсad операции с комплексными числами выполняют в алгебраической форме записи. Для определения модулей и аргументов комплексных чисел нужно выполнить дополнительные команды. Углы в Mathсad вычисляются в радианах. Для перехода в градусную меру измерения углов необходимо дополнительно указать оператор: «deg» (см. прил. 3).
Результаты расчетов занесите в графу «Расчет» табл. 10.
Таблица 10
Полученные значения токов и напряжений для рассматриваемой цепи
Параметр |
Действующие значения для исходной схемы |
Моделирование резонанса | |
расчет |
моделирование | ||
I1, А |
13,44 |
13,46 |
17,57 |
I2, А |
6,32 |
6,352 |
8,290 |
I3, А |
8,26 |
8,300 |
10,83 |
U23, В |
87,62 |
86,96 |
113,5 |
φ, градус |
40,41 |
40,05 |
0 |
3.2.2. Мгновенные значения тока в ветвях и напряжения можно записать с учетом того, что амплитудное значение тока в раз больше действующего значения, которое равно модулю полученного комплексного числа:
; |
(70) |
; |
; |
(71) |
; |
; |
(72) |
; |
; |
(73) |
; |
; |
(74) |
. |
3
Рис. 12
Если на векторной диаграмме сумма векторов токов параллельных ветвей равна вектору тока в неразветвленной части цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа для узловой точки, а сумма векторов напряжения – напряжению источника, то считается, что диаграмма сходится, и это обязательное, но не достаточное условие для вывода о правильности расчетов.
3.2.4. Окончательно о правильности полученных результатов можно судить по балансу мощности, который для цепей переменного тока может быть составлен для комплексов полной мощности источника и потребителей:
, (75)
или для активной и реактивной мощностей как составляющих. Выполним проверку по балансу активной и реактивной мощностей:
; , |
(76) |
где ,– угол сдвига фаз между приложенным напряжением и током в неразветвленной части цепи, он зависит от нагрузки цепи и равен аргументу полного комплексного сопротивления;
;
, где – действующие значения токов, т. е. модули комплексных чисел, изображающих соответствующие токи;
, реактивное сопротивление берется с учетом знака.
Активная мощность всегда положительна, реактивная может быть и отрицательной. Знак «минус» указывает на то, что реактивная мощность отдается цепью в сеть, а не потребляется из сети.
Для рассматриваемого примера:
Вт;
Вт;
вар;
В результате баланс активной мощности:
1297 Вт = 1297 Вт,
а реактивной:
– 1105 вар = – 1105 вар.
Баланс активной и реактивной мощности выполняется, следовательно, расчет однофазной цепи выполнен верно.
3.2.5. Резонанс напряжений в цепи наступает тогда, когда реактивное сопротивление цепи равно нулю. Если реактивное сопротивление цепи носит индуктивный характер (), то необходимо в неразветвленную часть цепи добавить емкостное сопротивление, значение которого равно индуктивной составляющей сопротивления:
(77)
. (78)
Если реактивное сопротивление цепи носит емкостный характер (), то необходимо в неразветвленную часть цепи добавить индуктивное сопротивление:
(79)
. (80)
В рассматриваемом примере ; реактивная составляющая сопротивления – емкостная. Рассчитаем индуктивное сопротивление, которое обеспечит в цепи резонанс напряжений:
-
Ом;