1.3.3. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Запись числа в двоичной системе громоздка, поэтому, как говорилось выше, для внешнего представления данных, адресации памяти используют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Например, А₈ = 23,71₈ = 2·8¹ + 3·8⁰ + 7·8^-1 + 1·8^-2;

А₁₆ = 23,71₁₆ = 2·16¹ + 3·16⁰ + 7·16^-1 + 1·16^-2;

А₁₆ = АF,EC₁₆ = A·16¹ + F·16⁰ + E·16^-1 + C·16^-2 =

= 10·16¹ + 15·16⁰ + 14·16^-1 + 12·16^-2.

Т а б л и ц а 2
Десятичные числа от 0 до 16 и равные им двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа
р = 10	р = 2	р = 8	р = 16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Таблицы сложения и умножения в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления сложнее для понимания. Арифметические действия обычно выполняют так: все числа переводят в двоичную систему счисления, выполняют действия, а затем результат переводят в нужную систему счисления. (Подобные переводы рассмотрим ниже.)

Соответствие между десятичными, двоичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами иллюстрирует табл. 2.

1.4. Перевод чисел из системы с произвольным основанием в десятичную систему счисления

Перевод числа из системы с произвольным основанием р в десятичную систему счисления выполняется с помощью формулы разложения этого числа по степеням основания р (т. е. с помощью развернутой формы записи числа):

A_р = a_n–1·р^n–1 + a_n–2·р^n–2 +…+ a₀·р⁰ + a_–1·р^–1+ a_–2·р^–2 +…+ a_–m·р^–m. (7)

Для перевода следует вычислить сумму числового ряда. Например:

110,101₂= 1·2²+ 1·2¹+ 0·2⁰+ 1·2^–1+ 0·2^–2+ 1·2^–3= 6,675;

222,22₃ = 2·3² + 2·3¹ + 2·3⁰ + 2·3^–1 + 2·3^–2 ≈ 26,889;

222,22₄ = 2·4² + 2·4¹ + 2·4⁰ + 2·4^–1 + 2·4^–2 = 42,625;

222,22₈ = 2·8² + 2·8¹ + 2·8⁰ + 2·8^{– 1}+ 2·8^–2 ≈ 146,281;

222,22₁₆ = 2·16² + 2·16¹+ 2·16⁰ + 2·16^–1 + 2·16^–2 ≈ 546,133.

1.5. Быстрый способ перевода чисел с помощью устного счета

Идея этого способа заключается в том, что если к целому числу справа приписать ноль, то число увеличивается вдвое (см. п. 1.3.2); если приписать единицу, то число увеличивается вдвое плюс единица. Например, было число 101₂ = 5₁₀. Если к числу 101₂ приписать справа ноль, то получим: 1010₂ = 10₁₀. Если к числу 101₂ приписать справа единицу, то получим: 1011₂ = 11₁₀. Алгоритм рассмотрим на примере перевода: А₂ = 110101,01101₂.

Для перевода целой части двоичного числа необходимо поочередно открывать разряды двоичного числа:

1; 1·2 + 1 = 3; 3·2 = 6; 6·2 + 1 = 13; 13·2 = 26; 26·2 + 1 = 53.

С дробной частью поступают аналогично:

1; 1·2 + 1 = 3; 3·2 = 6; 6·2 + 1 = 13.

Дробная часть числа состоит из пяти цифр. Пятый разряд после запятой имеет вес 32, поэтому дробная часть равна 13/32 = 0,40625.

Ответ: А₁₀ = 53,40625.