1.3.2. Двоичная арифметика

Правила выполнения арифметических операций для позиционных систем счисления с любым основанием р одинаковы и задаются таблицами сложения и умножения одноразрядных чисел.

Таблица двоичного сложения имеет вид:

0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10.

Ранее говорилось, что в любой системе счисления основание системы счисления записывается как 10. К этому же результату можно прийти иначе. Например, для двоичной системы счисления при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной основанию системы счисления или больше его, для двоичной системы счисления – больше двух или равной двум. Для примера сложим в столбик двоичные числа 1001,01₂ и 11,11₂:

Вычитание можно выполнять по таблицам сложения. При вычитании из меньшей цифры большей производится заем из старшего разряда, при этом следует учесть, что в двоичной системе счисления одна единица старшего разряда равна двум единицам младшего разряда. Для примера вычтем двоичные числа 1001,01₂ и 11,11₂:

Если вычитаемое больше уменьшаемого, то необходимо поменять их местами, а разность записать со знаком минус. Например, разность чисел 11,11₂ и 1001,01₂ равна –101,10₂.

Таблица двоичного умножения имеет вид:

0 · 0 = 0; 0 · 1 = 0; 1 · 0 = 0; 1 × 1 = 1.

Умножение многоразрядных двоичных чисел производится столбиком, т. е. путем образования частичных произведений и последующего их суммирования. При умножении, как обычно, не следует обращать внимание на запятые. Затем в полученном результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно. Для примера умножим двоичные числа 11,01₂ и 1,01₂:

Следует отметить, что умножение любого целого двоичного числа на 10₂ (т. е. на 2) эквивалентно добавлению нуля справа, а дробного – переносу запятой вправо на один разряд. Например, 1101 · 10 = 11010; 11,01 · 10 = 110,1.

Деление многоразрядных чисел производится уголком, аналогично делению десятичных чисел. Например, разделим натуральное число 1001₂ на натуральное число 11₂:

_ 1001₂ | 11₂

11 11₂

_ 11

11

0

Деление двоичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частное ставят после того, как закончено деление целой части. Например, разделим дробное число 110,1₂ на натуральное число 11₂:

_ 100,1₂ | 11₂

11 1,1₂

_ 11

11

0

Перед делением двоичной дроби на двоичную дробь необходимо запятую в делимом и делителе перенести вправо на столько разрядов (цифр), сколько их имеется после запятой в делителе – от этого частное не изменится. Иными словами, нужно умножить делимое и делитель на такую степень числа 2 (на такое число 10...0₂), чтобы делитель стал натуральным числом. Например, разделим дробное число 10,01₂ на дробное число 1,1₂. После умножения делимого и делителя на 10₂ получим предыдущий пример.

Следует отметить, что деление любого двоичного числа на 10₂ (т. е. на 2) эквивалентно переносу запятой влево на один разряд. Например, 1101₂ : 10₂ = = 110,1₂; 11,01₂ : 10₂ = 1,101₂.