Конспект лекций по ТАУ

Для обоснования критерия Михайлова рассмотрим характеристический полином в виде

A(s) = ansn +an−1sn−1 +×××+a1s +a0 = an (s -λ1)(s -λ2)×××(s -λn ) ,

где λi - корни характеристического уравнения A(s) = 0. После замены s = jω уравнение запишется в виде:

где λi = – αi + jωi – i-й корень характеристического уравнения.

Рассмотрим разные варианты значений корней.

1. Корень вещественный и отрицательный: λi = – αi . Сомножитель, определяемый этим корнем, будет иметь вид: αi + jω. При изменении частоты от 0 до ∞ вещественная часть комплексного числа αi + jω по-прежнему будет равна αi, а комплексная часть будет уходить в бесконечность (рис. 4.14).

jV(ω)

↑ ω

+π/2

ω

ω =

αi U(ω)

172

Рис. 4.14. Изменение фазы для отрицательного вещественного корня

2. Корень вещественный и положительный: λi = αi . Сомножитель, определяемый этим корнем, будет иметь вид: – αi + jω. При изменении частоты от 0 до ∞ вещественная часть комплексного числа αi + jω по-прежнему будет равна – αi, а комплексная часть будет уходить в бесконечность (рис. 4.15).

jV(ω)

↑ ω

– π/2

ω

Рис. 4.15. Изменение фазы для положительного вещественного корня

3. Корни комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью: λ1, 2 = – α ± jβ . Этим корням будет соответствовать сомножители:

(α − jβ + jω)(α + jβ + jω).

При ω = 0 здесь имеются два вектора, один повернут на угол

γ = arctg βα

по часовой стрелке, а другой – на тот же угол против часовой

173

стрелки (рис. 4.16).

jV(ω)

↑ ω

+π/2

ω

γ

ω =

U(ω)

-γ

αi

Рис. 4.16. Изменение фазы для комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью

При ω → ∞ оба вектора сливаются с мнимой осью: один вектор повернется на угол φ1 = π/2 + γ, а другой – на угол φ2 = π/2 – γ. Таким образом, вектор, соответствующий произведению, повернется на угол π.

4. Корни комплексно-сопряженные с положительной вещественной частью: λ1, 2 = α ± jβ . Здесь вектор, соответствующий произведению, повернется на угол – π.

Таким образом, если характеристическое уравнение имеет k корней с положительной вещественной частью, им будет соответствовать сумма углов поворотов, равная – k π/2. Если же k = 0, то система устойчива и кривая Михайлова пройдет все n квад-

174

рантов, т.е. повернется на nπ/2.

175

Критерий устойчивости Найквиста

Вотличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы.

Вэтом заключается существенное преимущество критерия, так как построение АФЧХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев.

Пусть имеется ПФ разомкнутой системы W(jω).

Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ПФ нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, а затем выполнить разделение на вещественную и мнимую части. ПФ приобретает вид

W ( jω) = P(ω) + jQ(ω) .

Задаваясь различными значениями частоты, можно найти множество пар {P(ω1);jQ(ω1)}, {P(ω2);jQ(ω2)},…{ P(ωn);jQ(ωn)}. Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости.

Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы:

1. если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев, то при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке P(ω) = k (где k − коэффициент усиления разомкнутой систе-

176

мы). Заканчивается АФЧХ в начале координат при ω → ∞ (рис. 4.17, а).

2. если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то ее АФЧХ начинается при

ω= 0 в бесконечности на отрицательной мнимой полуоси, а заканчивается в начале координат при

ω→ ∞ (рис. 4.17, б).

jQ

jQ

ω → ∞

Рис. 4.17. АФЧХ разомкнутой системы

Разомкнутая система может быть устойчивой, неустойчивой или находиться на границе устойчивости. Если система содержит только устойчивые элементы, то она будет устойчивой. Если есть хотя бы один неустойчивый элемент, то система будет неустойчивой. Если есть хотя бы одно интегрирующее звено, то она будет на границе устойчивости.

177

Критерий устойчивости Найквиста формулируется так:

1. если разомкнутая система устойчива или

находится на границе устойчивости, то для то-

го, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами {–1, j0};

2.если разомкнутая система неустойчива, а

ееПФ имеет m полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при измене-

нии частоты от ω от - ∞ до + ∞ охватывала m раз точку с координатами {–1, j0}.

При использовании этого критерия нужно учитывать две особенности:

1.если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно большого радиуса с положительной вещественной полуосью (см. рис. 4.16, б).

2.на практике АФЧХ может строиться толь-

ко для положительных частот (0 ≤ ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси.

178

Физический смысл критерия устойчивости Найквиста заключается в том, что система будет неустойчива, если фаза выходного сигнала противоположна фазе входного сигнала, а коэффициент усиления >1.

Иначе говоря, если АФЧХ при некоторой частоте проходит через точку {–1, j0}, то на этой частоте амплитуда выходного сигнала равна амплитуде входного сигнала, а его фаза противоположна фазе входного сигнала (– π). Если отключить источник внешних колебаний и замкнуть отрицательную обратную связь, то на вход поступит с выхода точно такой же сигнал, который подавался до этого на входе. В системе установятся незатухающие колебания, т.е. она будет находиться на границе устойчивости.

Если же АФЧХ при некоторой частоте охватывает точку {–1, j0}, то есть такая частота, при которой сдвиг фаз будет – π, а усиление > 1. При замыкании отрицательной обратной связи и отключении источника внешнего сигнала амплитуда выходных колебаний будет расти, и система потеряет устойчивость.

Если АФЧХ не охватывает точку {–1, j0}, то при фазовом сдвиге – π амплитуда выходного сигнала меньше амплитуды входного сигнала. При замыкании отрицательной обратной связи колебания будут затухать, т.е. система будет устойчива.

Частотный критерий устойчивости Найквиста часто удобно использовать в том случае, когда рассматривается не АФЧХ, а ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы: замкнутая минимально-фазовая система устойчива, ес-

179

ли, при достижении ЛФЧХ значения – π, ЛАЧХ будет отрицательной (рис. 4.18).

Рис. 4.18. Неустойчивая а) и устойчивая б) системы

Эта формулировка следует из того, что если ЛАЧХ отрицательна, то модуль АФЧХ < 1 (так как числа, меньшие единицы, имеют отрицательный логарифм).

Таким образом, система устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает – π. Соответственно, для устойчивой системы можно рассматривать на

180