Конспект лекций по ТАУ
.pdfщих обойтись без вычисления корней – по значениям коэффициентов характеристического уравнения.
1.Алгебраический критерий устойчивости
Алгебраический критерий устойчивости в разной форме был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце 19-го века, поэтому этот критерий обычно называют критерием Рауса – Гурвица. Критерий применяется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы.
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы
an sn + an −1sn −1 + ... + a1s + a0 = 0.
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют матрицу по правилу:
1. по диагонали записываются коэффициенты от аn-1 до а0;
2.столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по возрастающим, а вверх – по убывающим индексам;
3.в случае отсутствия индекса, а также если он меньше 0 или больше n, на его место пишется
0.
Таким образом, матрица Гурвица приобретает следующий вид:
121
an −1an0
G =
...
00
an −3 |
an −5 |
... |
0 |
0 |
|
|
a |
a |
n− 4 |
... |
0 |
0 |
|
n − 2 |
|
|
|
|
|
|
an −1 |
an −3 |
... |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
... ... ... |
... |
||||
0 |
|
0 |
... |
a |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
... |
a |
a |
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
Критерий устойчивости формулируется так: чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при an > 0 были положительными все n диагональных определителей, получаемых из матрицы Гурвица.
Первые три определителя матрицы Гурвица имеют следующий вид:
1 = an-1 ; |
|
= |
|
an −1 |
an −3 |
|
; |
3 = |
an−1 |
an−3 |
an−5 |
; |
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
an |
an−2 |
an−4 |
|||||||
|
|
|
|
an |
an − 2 |
|
|
|
0 |
an−1 |
an−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.2. Пусть задан характеристический полином
2s5 + 4s4 + 3s3 + 7s2 + 2s + 1 = 0.
Здесь n = 5, a5 = 2, a4 = 4, a3 = 3, a2 = 7, a1 = 2, a0 = 1, и матрица Гурвица имеет вид:
|
4 |
7 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
G = |
2 |
3 |
2 |
0 |
0 |
|
4 |
7 |
1 |
|
|
0 |
0 . |
||||
|
0 |
2 |
3 |
2 |
0 |
|
|
0 |
4 |
7 |
|
|
0 |
1 |
122
1 = 4; |
2 |
= |
4 |
7 |
= −2. |
|
|
|
2 |
3 |
|
Таким образом, система неустойчива.
Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n
=1 ÷ 3.
1.Для уравнения первого порядка (n = 1)
a1s + a0 = 0
условие устойчивости: а1 > 0 и ∆1 = а0 > 0. Например, рассмотрим системы с передаточными функциями:
W1 (s) = |
1 |
; |
W2 (s) = |
1 |
. |
|
|
||||
|
Ts +1 |
|
Ts −1 |
||
Система W1 будет устойчивой, а W2 – нет. 2. Для уравнения второго порядка (n = 2)
|
|
a |
s2 |
+ a s + a |
= 0. |
|
|
|
2 |
|
1 |
0 |
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|
|
|
G = |
1 |
|
|
|
|
|
a2 |
a0 |
|
и условие устойчивости: |
|
|
|
|||
a |
2 |
> 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = a1 > 0, |
|
|
|||
|
2 = a0 |
1 > 0 илиa0 > 0. |
||||
|
||||||
123
Таким образом, для устойчивости систем 1-го и 2-го порядка достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.
3. Для уравнения третьего порядка (n = 3)
a s3 |
+ a s2 |
+ a |
2 |
s + a = 0. |
|||
0 |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
a2 |
a0 |
0 |
|
||
|
G = a |
|
a |
0 |
. |
||
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
a2 |
a0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Условие устойчивости:
a |
> 0, |
|
= a |
|
> 0, |
|||
|
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
= |
a2 |
|
a0 |
= a2a1 − a0a3 > 0, |
||
|
2 |
a3 |
|
a1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
3 = a0 2 > 0 a0 > 0.
При n = 3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3).
Пример 3.3. Структурная схема САУ показана на рис. 3.1.
g(t) e(t)
yoc(t)
y(t)
k
a2 s 2 + a1 s + a0
k1
124
Рис. 3.1. Пример системы с обратной связью
Требуется определить, при каких значениях k1 замкнутая система устойчива.
Решение.
Запишем ПФ замкнутой системы:
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
W (s) = |
|
a |
s2 |
+ a s + a |
|
|
|
= |
|
k |
||||
2 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
a2 s2 |
+ a1s + a0 + kk1 |
|
|
1+ a |
|
s2 |
+ a s + a |
0 |
k1 |
|
|
||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Для устойчивости системы 2-го порядка надо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны: а2 > 0, a1 > 0, a0 + KK1 > 0. Следовательно:
K 1 > − a 0 .
K
Таким образом, критерий Рауса – Гурвица позволяет судить об абсолютной устойчивости, но не дает возможности оценивать относительную устойчивость по корням характеристического уравнения.
3.3 Структурно-неустойчивые системы
Структурно-устойчивой называется такая система, которая может быть сделана устойчивой путем выбора
125
параметров – коэффициентов усиления и постоянных времени динамических звеньев. Соответственно, структурно-неустойчивой называется система, которая неустойчива при любых значениях параметров.
Примеры структурно-устойчивых САУ приведены на рис. 3.2.
X(s) |
|
|
|
W3 = |
Y(s) |
W = |
k1 |
W = |
k2 |
k3 |
|
1 |
T s + 1 |
2 |
T s + 1 |
|
T3s + 1 |
|
|
|
|||
|
1 |
|
2 |
|
|
X(s) |
|
W = |
|
|
Y(s) |
W = |
k1 |
k2 |
W = k3 |
||
1 |
T s + 1 |
2 |
T2 s + 1 |
3 |
s |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
Рис. 3.2. Структурно-устойчивые одноконтурные системы
Пример 3.4. Рассмотрим систему, показанную на рис. 3.2, а. Ей соответствует ПФ разомкнутой системы
H (s) = |
k1k2k3 |
. |
|
(T1s + 1)(T2 s + 2)(T3s + 3) |
|||
|
|
Характеристический полином замкнутой системы
A(s) = T1T2T3s3 + (T1T2 + T1T3 + T2T3 )s2 + (T1 + T2 + T3 )s + k1k2k3 + 1.
126
Система имеет 3-й порядок, следовательно, для устойчивости должно выполняться условие
(T1T2 + T1T3 + T2T3 )(T1 + T2 + T3 ) > T1T2T3 (k1k2k3 +1),
откуда следует:
|
|
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
|
+ T2 |
+ T3 ) −1. |
|
k1k2k3 |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
< |
|
T2 |
T3 |
(T1 |
||||||
|
T1 |
|
|
|
|
|
||||
Пример 3.5. Рассмотрим систему, показанную на рис. 3.2, б. Ей соответствует ПФ разомкнутой системы
H (s) = |
k1k2k3 |
. |
|
(T1s + 1)(T2 s + 2)s |
|||
|
|
При замыкании отрицательной обратной связью:
W (s) = |
|
H (s) |
= |
k1k2k3 |
. |
|
+ H (s) |
(T1s + 1)(T2s + 1)s + k1k2k3 |
|||
1 |
|
|
|||
Характеристический полином замкнутой системы
A(s) = T1T2 s3 + (T1 + T2 )s2 + s + k1k2k3.
Откуда следует:
|
|
|
T2 |
|
|
k1k2k3 |
|
T1 |
+ |
|
|
|
|
||||
< |
T1 |
. |
|||
|
T1 |
|
|
||
Наличие в одноконтурной системе консервативного звена или двух интегрирующих звеньев свидетельствует о присутствии чисто мнимых корней в характеристическом уравнении, что характеризует незатухающие периодические режимы в системе (рис. 3.3).
X(s) |
k1 |
|
k2 |
k3 |
Y(s) |
|
|
127 |
|||
W1 = |
T s + 1 |
W2 = |
T2 s2 + 1 |
W3 = T3s + 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Рис. 3.3. Структурно-неустойчивые одноконтурные системы
Структурно-неустойчивые системы можно перевести в структурно-устойчивые, используя местные обратные связи, как это показано на рис. 3.4.
X(s) |
|
k1 |
k2 |
|
|
k3 |
Y(s) |
|
|
|
|
|
|
||||
W1 = T s + 1 |
W2 = T 2 s + 1 |
W3 = T s + 1 |
|
|||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
W2 = koc s |
|
|
|
|
|
X(s) |
= |
k1 |
W2 = |
k2 |
W = |
k |
|
Y(s) |
W1 |
3 |
|
||||||
T1 s + 1 |
|
|
|
|||||
s |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
s |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
koc
128
Рис. 3.4. Обеспечение структурной устойчивости системы
1. Корневые показатели качества переходного процесса
Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием эффективного функционирования системы. Не менее важно, чтобы процесс регулирования осуществлялся при обеспечении определенных показателей качества.
При исследовании устойчивости САУ оценивалось только расположение полюсов на комплексной плоскости. Оценивая качество переходного процесса, необходимо учитывать и расположение нулей.
Корневые методы оценки показателей качества рассматривают полюсы характеристического уравнения замкнутой системы и их расположение на комплексной плоскости, где каждому полюсу соответствует определенная точка.
Для оценки быстродействия системы используется понятие степени устойчивости η, под которой понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 3.5, где показан вариант, когда ближайшим к мнимой оси является вещественный корень (слева), и вариант, когда к мнимой оси ближе пара комплексно-сопряженных корней (справа)).
129
Im |
Im |
η |
η |
Re |
Re |
Рис. 3.5. Понятие степени устойчивости
Корни, имеющие наименьшую по модулю вещественную часть, дают в переходном процессе наиболее медленно затухающую составляющую, их называют
доминирующими.
Составляющая переходного процесса, обусловленная вещественным корнем η, имеет вид
yη (t) = Cηe− ηt .
Пусть – малое значение (0,01 ÷ 0,05). Тогда в конце переходного процесса
yη(t) = Cη .
Следовательно:
130